ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

На доске $30$ чисел, каждое от $17$ до $56$, их сумма $30\cdot 23=690$.

Выясним, какие числа стирают. Половина числа меньше $9$ тогда и только тогда, когда само число меньше $18$. Все числа больше $16$, поэтому стирают ровно числа $17$ (они превращаются в $8,5$), а все остальные остаются.

Пусть чисел $17$ было $x$. Если бы все $30$ чисел были семнадцатками, их сумма была бы $510\ne 690$, поэтому $x<30$ и на доске что-то остаётся. Сумма остальных $30-x$ чисел равна $690-17x$. После деления пополам на доске $30-x$ чисел с суммой $\frac{690-17x}{2}$, и их среднее

$$A=\frac{690-17x}{2(30-x)}=\frac{690-17x}{60-2x}.$$

Важно: среднее оставшихся зависит только от $x$.

а) Попробуем $x=24$. Тогда остальные $6$ чисел дают в сумме $690-24\cdot 17=690-408=282$; возьмём их одинаковыми: $282:6=47$.

Пример: двадцать четыре числа $17$ и шесть чисел $47$. Все числа больше $16$ и не больше $56$, их сумма $408+282=690$, среднее $23$. После деления пополам числа $17$ превращаются в $8,5$ и стираются, а остаются шесть чисел $23,5$. Их среднее $23,5>21$. Ответ: да.

б) Предположим, что $20<A<21$. Знаменатель $60-2x$ положителен, поэтому можно умножить на него:

$$20(60-2x)<690-17x<21(60-2x).$$

Левое неравенство: $1200-40x<690-17x$, то есть $23x>510$, $x>\frac{510}{23}=22\frac{4}{23}$.

Правое неравенство: $690-17x<1260-42x$, то есть $25x<570$, $x<\frac{570}{25}=22\frac{4}{5}$.

Получаем $22\frac{4}{23}<x<22\frac{4}{5}$, но между этими числами нет целых, а $x$ — целое. Для наглядности: при $x=22$ среднее $A=\frac{316}{16}=19,75$, а при $x=23$ уже $A=\frac{299}{14}\approx 21,36$. Ответ: нет.

в) Оценка. Выделим в выражении для $A$ целую часть. Так как $8,5(60-2x)=510-17x$, имеем $690-17x=8,5(60-2x)+180$, и

$$A=8,5+\frac{180}{60-2x}=8,5+\frac{90}{30-x}.$$

При $x<30$ с ростом $x$ знаменатель $30-x$ уменьшается, и $A$ растёт. Значит, надо понять, насколько большим может быть $x$.

Оставшиеся $30-x$ чисел не больше $56$, поэтому их сумма не больше $56(30-x)$:

$$690-17x⩽56(30-x)\iff 690-17x⩽1680-56x\iff 39x⩽990\iff x⩽25\frac{5}{13}.$$

Так как $x$ — целое, $x⩽25$, и

$$A⩽8,5+\frac{90}{30-25}=8,5+18=26,5.$$

Пример. Возьмём двадцать пять чисел $17$ и пять чисел $53$. Все числа в нужных пределах, сумма $25\cdot 17+5\cdot 53=425+265=690$, среднее $23$. После деления пополам семнадцатки стираются, остаются пять чисел $26,5$, их среднее $26,5$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $26,5$.