а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n² и… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2025 развёрнутое

а) Приведите пример такого натурального числа $n$ , что числа $n^{2}$ и $(n + 22)^{2}$ дают одинаковый остаток при делении на $50$ .

б) Сколько существует трёхзначных чисел $n$ с указанным в пункте $а$ свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел $m < 50$ , для каждого из которых существует ровно $36$ трёхзначных чисел $n$ , таких, что $n^{2}$ и $(n + m)^{2}$ дают одинаковый остаток при делении на $50$ ?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Будем пользоваться фактом: два целых числа дают одинаковый остаток при делении на $50$ тогда и только тогда, когда их разность делится на $50$ .

а) Нужно, чтобы на $50$ делилась разность

$(n + 22)^{2} - n^{2} = 44 n + 484 = 44 (n + 11) .$

Так как $50 = 2 \cdot 25$ , а $44$ чётно, остаётся добиться делимости на $25$ . Числа $44$ и $25$ взаимно просты, поэтому $44 (n + 11)$ делится на $25$ тогда и только тогда, когда $n + 11$ делится на $25$ .

Возьмём $n = 14$ : тогда $n + 11 = 25$ . Проверим: $1 4^{2} = 196 = 3 \cdot 50 + 46$ и $3 6^{2} = 1296 = 25 \cdot 50 + 46$ — оба дают остаток $46$ . Подходит, например, и $n = 39$ .

б) По пункту а) свойство выполнено тогда и только тогда, когда $n + 11$ делится на $25$ , то есть $n = 25 t - 11$ для натурального $t$ . Трёхзначность:

$100 ⩽ 25 t - 11 ⩽ 999 \Leftrightarrow 111 ⩽ 25 t ⩽ 1010 \Leftrightarrow 5 ⩽ t ⩽ 40.$

Получаем $40 - 5 + 1 = 36$ чисел: $114, 139, \dots, 989$ .

в) Двузначные $m < 50$ — это $10 ⩽ m ⩽ 49$ . Нужно, чтобы на $50$ делилась разность

$(n + m)^{2} - n^{2} = 2 nm + m^{2} = m (2 n + m) .$

Нечётные $m$ . Тогда $2 n + m$ нечётно, и произведение $m (2 n + m)$ нечётно — на $50$ оно не делится ни при каком $n$ . Подходящих трёхзначных $n$ нет, а не $36$ . Такие $m$ не годятся.

Чётные $m$ . Пусть $m = 2 k$ , где $5 ⩽ k ⩽ 24$ . Тогда

$m (2 n + m) = 2 k (2 n + 2 k) = 4 k (n + k) .$

Число $4 k (n + k)$ делится на $50 = 2 \cdot 25$ тогда и только тогда, когда $2 k (n + k)$ делится на $25$ , а так как $2$ и $25$ взаимно просты, — когда $k (n + k)$ делится на $25$ .

Если $k$ не делится на $5$ , то $k$ и $25$ взаимно просты, и условие равносильно тому, что $n + k$ делится на $25$ , то есть $n$ даёт фиксированный остаток при делении на $25$ . Трёхзначные числа $100, 101, \dots, 999$ — это $900 = 36 \cdot 25$ подряд идущих чисел, и каждый остаток при делении на $25$ встречается среди них ровно $36$ раз. Значит, подходящих $n$ ровно $36$ — такие $m$ годятся.

Если $k$ делится на $5$ , то $k \in {5; 10; 15; 20}$ , то есть $k = 5 j$ , где $j \in {1; 2; 3; 4}$ на $5$ не делится. Условие: $5 j (n + 5 j)$ делится на $25$ , то есть $j (n + 5 j)$ делится на $5$ , то есть $n + 5 j$ делится на $5$ , то есть $n$ делится на $5$ . Трёхзначных чисел, кратных $5$ , ровно $180$ (от $100$ до $995$ ), а не $36$ . Такие $m$ не годятся.

Итак, подходят $m = 2 k$ , где $5 ⩽ k ⩽ 24$ и $k$ не делится на $5$ . Таких $k$ всего $20 - 4 = 16$ , им соответствуют

$m = 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48.$

Ответ: а) например, $14$ ; б) $36$ ; в) $16$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20