В игре число и число , за ход можно сделать или . Новые числа и всегда положительные.
а) Можно ли получить число за ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму, равную ?
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Найдём, что не меняется или меняется предсказуемо при каждом ходе.
Сумма. При ходе новая сумма равна . При ходе она равна . Значит, каждый ход увеличивает сумму ровно на . Вначале , поэтому после ходов сумма равна .
Разность. При первом ходе , при втором . Значит, разность каждый раз меняется на и её остаток при делении на не меняется. Вначале , поэтому разность всегда даёт остаток при делении на .
Полезная пара ходов. Сделаем два хода подряд:
За два хода оба числа увеличились на .
а) После ходов сумма равна (а после меньшего числа ходов — ещё меньше). Оба числа положительны, поэтому каждое из них меньше и не может равняться . Ответ: нельзя.
б) После ходов сумма равна , поэтому сумма возможна только после хода. Покажем, что её действительно можно получить, не нарушая положительности.
Повторим пару ходов раз: это ходов, и из получится
Все промежуточные числа положительны: внутри пары ходов растёт, а лишь временно уменьшается на , с до . Сделаем ещё один ход:
Значит, нужно сделать ход.
в) Здесь ни одно число не должно превышать .
Оценка. Так как и , сумма не больше . Сумма возможна только при , но тогда , а разность всегда даёт остаток при делении на . Значит, сумма не больше . При сумме годится только пара : у пары разность равна , её остаток при делении на равен .
Пример. Повторим пару ходов раз. После повторений получается пара , а внутри следующей пары ходов появляется пара . При все эти числа положительны и не больше . Последние ходы выглядят так:
Получили пару с суммой , ни разу не превысив .
Наибольшая сумма , и так как каждый ход увеличивает сумму на , для неё нужно ходов.
Ответ: а) нет; б) ; в) .