С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 194 получается число 1109134).
а) Приведите пример числа, из которого получается число 411781109.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 210811495?
в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Разберёмся, как устроено полученное число. Его первая цифра — первая цифра исходного числа. Дальше идёт сумма первой и второй цифр (однозначная или двузначная, так как сумма двух цифр не больше ), затем вторая цифра, затем сумма второй и третьей и так далее. Поэтому цифры исходного числа можно восстанавливать слева направо.
а) Полученное число начинается с , значит, первая цифра исходного числа равна . Следом записана сумма , где — вторая цифра. Эта сумма не меньше , поэтому она не может быть просто «»; значит, это «», и . Дальше в записи действительно стоит .
Следующая сумма , в записи дальше идут цифры . Подходит однозначная сумма , то есть , и следом действительно стоит . Дальше сумма и остаток записи : сумма «» даёт , и запись заканчивается цифрой .
Получили число . Проверим: между и записываем , между и — , между и — :
б) Предположим, что из некоторого числа получилось , и будем восстанавливать его цифры.
Первая цифра равна . Следом записана сумма , поэтому она не может быть однозначной «». Двузначная сумма — «», значит, , и следующая цифра записи действительно . Итак, исходное число начинается с , а в записи осталось .
Исходное число не может закончиться на — тогда получилось бы . Значит, дальше записана сумма , где — третья цифра. Эта сумма не меньше , поэтому однозначной «» она быть не может. Если она двузначная, то это «», и ; но тогда следующей цифрой записи должна быть , а там стоит . Трёхзначной сумма двух цифр быть не может.
Все варианты привели к противоречию, значит, такое число получиться не может.
в) Пусть исходное число , где , (девяток нет). Из него получается число, в котором подряд записаны , , , , . Каждая из сумм не больше , поэтому она однозначная или двузначная, а всё число имеет , или цифр.
Найдём условие делимости на . Число делится на тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на . Если сумма однозначная, её цифры дают в сумме ; если двузначная, , то её цифры дают . В обоих случаях вклад отличается от на число, кратное . Поэтому сумма цифр полученного числа даёт при делении на тот же остаток, что и
Итак, полученное число кратно тогда и только тогда, когда делится на .
Оценка. Ниже мы покажем, что семизначное кратное число получить можно, поэтому наибольшее надо искать среди семизначных: любое семизначное больше любого пяти- или шестизначного. Семизначное число получается, когда и , и тогда его цифры по порядку:
Сравниваем такие числа по цифрам слева направо. Первая цифра . Вторая всегда . Третья , и она равна только при . Значит, наибольшие кандидаты получаются при , а любое другое число меньше их.
При условие делимости: делится на . Из имеем , тогда . Единственное кратное число в этом промежутке — , откуда . Значит, большего кратного числа, чем то, что получается из , нет.
Пример. Из числа (в нём нет девяток) получаем: , , , , , то есть число . Сумма его цифр делится на , значит, и само число делится на : .
Ответ: а) ; б) нет; в) .