ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала найдём сумму и среднее арифметическое всех чисел на доске — они понадобятся во всех пунктах. Сумма равна

$$8\cdot 5+8\cdot 4+8\cdot 3=8\cdot (5+4+3)=96.$$

Чисел $24$, поэтому их среднее арифметическое равно $\frac{96}{24}=4$.

а) Чтобы полусумма $\frac{A+B}{2}$ была больше $4$, сделаем одно из средних как можно больше. Поставим в первую группу одно число $5$, а во вторую — все остальные $23$ числа: семь пятёрок, восемь четвёрок и восемь троек.

Среднее группы из одного числа равно этому числу, поэтому $A=5$. Для второй группы

$$B=\frac{7\cdot 5+8\cdot 4+8\cdot 3}{23}=\frac{35+32+24}{23}=\frac{91}{23}.$$

Тогда

$$\frac{A+B}{2}=\frac{1}{2}\left(5+\frac{91}{23}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{115+91}{23}=\frac{206}{46}=\frac{103}{23}=4\frac{11}{23}.$$

Так как $4\frac{11}{23}>4$, среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac{A+B}{2}$. Пример подходит.

б) Пусть в первой группе $12$ чисел и их сумма равна $x$. Тогда $A=\frac{x}{12}$. Во второй группе тоже $12$ чисел, их сумма равна $96-x$, поэтому $B=\frac{96-x}{12}$. Получаем

$$\frac{A+B}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}+\frac{96-x}{12}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{96}{12}=4.$$

Это в точности среднее арифметическое всех чисел, найденное в начале решения. Что и требовалось доказать.

в) Если поменять группы местами, выражение $\frac{A+B}{2}$ не изменится. При группах по $12$ чисел оно равно $4$ (пункт б). Поэтому достаточно разобрать случай, когда в первой группе $n$ чисел, где $1⩽n⩽11$, а во второй — $24-n$ чисел. Пусть сумма чисел первой группы равна $x$, тогда сумма второй группы равна $96-x$.

Оценка. Приведём полусумму средних к общему знаменателю:

$$\frac{A+B}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{96-x}{24-n}\right)=\frac{x(24-n)+n(96-x)}{2n(24-n)}=\frac{24x-2nx+96n}{2n(24-n)}=\frac{x(12-n)+48n}{n(24-n)}.$$

При $n⩽11$ множитель $12-n$ положителен, поэтому дробь тем больше, чем больше $x$. Каждое число на доске не больше $5$, значит, сумма $n$ чисел $x⩽5n$. Подставим эту оценку:

$$\frac{A+B}{2}⩽\frac{5n(12-n)+48n}{n(24-n)}=\frac{60-5n+48}{24-n}=\frac{108-5n}{24-n}.$$

Выделим целую часть: $108-5n=5(24-n)-12$, поэтому

$$\frac{108-5n}{24-n}=5-\frac{12}{24-n}.$$

Так как $n⩾1$, знаменатель $24-n⩽23$, а значит, $\frac{12}{24-n}⩾\frac{12}{23}$. Отсюда

$$\frac{A+B}{2}⩽5-\frac{12}{23}=\frac{103}{23}.$$

В случае групп по $12$ чисел значение равно $4<\frac{103}{23}$. Итак, при любом разбиении $\frac{A+B}{2}⩽\frac{103}{23}$.

Пример. Равенство во всех оценках достигается при $n=1$ и $x=5$: первая группа — одно число $5$, вторая — остальные. Это разбиение из пункта а), и для него мы уже получили $\frac{A+B}{2}=\frac{103}{23}$.

Ответ: а) например, первая группа — одно число $5$, вторая — остальные $23$ числа; в) $\frac{103}{23}$.