ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $A=\overline{abc}$ — трёхзначное число, $S=a+b+c$ — сумма его цифр, $1⩽S⩽27$.

а) Да. Разложим: $1105=5\cdot 221$. Возьмём $A=221$: сумма цифр $S=2+2+1=5$, и

$$A\cdot S=221\cdot 5=1105.$$

б) Нет. Разложим на простые множители:

$$1106=2\cdot 553=2\cdot 7\cdot 79.$$

Число $A$ — трёхзначный делитель 1106. Трёхзначных делителей два: $2\cdot 79=158$ и $7\cdot 79=553$ (остальные делители $1,2,7,14,79$ меньше 100, а $1106$ — четырёхзначное). Проверим:

$$A=158:S=1+5+8=14,\text{но}1106:158=7\ne 14;$$

$$A=553:S=5+5+3=13,\text{но}1106:553=2\ne 13.$$

Ни один вариант не подходит, значит, $A\cdot S\ne 1106$.

в) Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9 (так как $A-S=99a+9b$ делится на 9). Пусть этот остаток равен $q$, тогда $A\cdot S$ даёт тот же остаток, что и $q^2$. Перебор $q$ от 0 до 8:

$$\begin{array}{cccccccccc}q& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ q^2& 0& 1& 4& 9& 16& 25& 36& 49& 64\\ \text{остаток }{q}^2& 0& 1& 4& 0& 7& 7& 0& 4& 1\end{array}$$

Значит, $A\cdot S$ может давать при делении на 9 только остатки $0$, $1$, $4$, $7$.

Оценка. Проверим числа, большие 3978, по порядку.

$3979$ даёт остаток 1 (сумма цифр 28) — по остатку может подойти. Разложим: $3979=23\cdot 173$, где 23 и 173 — простые. Трёхзначный делитель только один, $A=173$, тогда $S$ должно быть 23, но $1+7+3=11$. Не подходит.

$3980$ даёт остаток 2 (сумма цифр 20), $3981$ — остаток 3 (сумма цифр 21). Не подходят.

Итак, $A\cdot S\ne 3979,3980,3981$, и значит, $A\cdot S⩾3982$.

Пример. $3982=2\cdot 11\cdot 181=362\cdot 11$. У числа $A=362$ сумма цифр $3+6+2=11$, и

$$A\cdot S=362\cdot 11=3982.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) 3982.