Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
a) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Число получает ровно две отметки, если оно делится ровно на два из чисел 3, 4, 5. Так как эти числа попарно взаимно просты, возможны три типа карточек:
- красная и синяя: число кратно 12, но не кратно 5;
- красная и зелёная: число кратно 15, но не кратно 4;
- синяя и зелёная: число кратно 20, но не кратно 3.
Если число делится на все три (то есть на 60), то отметок три — такие числа не подходят. Числа разных типов разные, поэтому повторы между типами невозможны.
а) Оценка. Посчитаем подходящие числа, меньшие 200. Среди них кратны 60 числа 60, 120, 180 — их исключаем в каждом типе.
Кратных 12 чисел, меньших 200: — всего ; без кратных 60 остаётся .
Кратных 15: — всего ; остаётся .
Кратных 20: — всего ; остаётся .
Всего подходящих чисел меньше 200 ровно . Числа на карточках различны, поэтому карточек с числами меньше 200 не больше 29.
Пример. Возьмём все 29 подходящих чисел, меньших 200:
и ещё 31 число вида , где и не делится на 5 (от до ; из 39 значений убираем 8 кратных пяти). Каждое из них делится на 3 и на 4, но не на 5, то есть имеет ровно две отметки. Получилось 60 различных чисел, и ровно 29 из них меньше 200.
б) Здесь 20 карточек с числами, кратными 20 и не кратными 3; 20 — кратными 12 и не кратными 5; 20 — кратными 15 и не кратными 4.
Оценка. Числа синих и зелёных карточек имеют вид , где не делится на 3 (иначе делилось бы на 3). Среди чисел на 3 делятся 9 чисел, а не делятся . Нужно 20 различных значений , поэтому хотя бы одно из них не меньше 29, и наибольшее число на карточках не меньше .
Пример. Возьмём:
- синяя и зелёная: при , не кратно 3 — это ;
- красная и синяя: при , не кратно 5 — это ;
- красная и зелёная: при , не кратно 4 — это .
В каждой группе по 20 чисел, все 60 чисел различны, у каждого ровно две отметки нужных цветов. Наибольшее число равно 580.
в) На 45 карточках есть синяя отметка: это числа, кратные 12 и не кратные 5, или кратные 20 и не кратные 3. Назовём их «синими числами». Остальные 15 карточек — красные и зелёные: числа, кратные 15 и не кратные 4.
Оценка. Разобьём натуральные числа на блоки по 60 подряд: , , и так далее. В первом блоке синие числа такие: кратные 12 — (число 60 не подходит), кратные 20 — . Всего 6 чисел: .
Число 60 делится на 3, на 4 и на 5, поэтому прибавление не меняет делимости на 3, 4, 5. Значит, в блоке синие числа — ровно , , , , , , по 6 в каждом блоке.
В первых семи блоках, то есть среди чисел до 420, синих чисел . Значит, хотя бы три синих числа больше 420. Синие числа, большие 420, в порядке возрастания: Третье из них — 444, поэтому наибольшее число на карточках не меньше 444.
Пример. Синие числа — все 42 синих числа до 420 и ещё :
Красные и зелёные — 15 чисел вида , где не кратно 4:
Все 60 чисел различны (синие делятся на 4, остальные — нет), у каждого ровно две отметки, синяя отметка ровно на 45 карточках. Наибольшее число равно 444.
Ответ: а) 29; б) 580; в) 444.