ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть синих карт $s$, а красных $r$. По условию наибольшее число на красных картах равно $3s$, а на синих — $r$.

Наименьшее число, большее $-32$ и кратное 8, — это $-24$; наименьшее число, большее $-32$ и кратное 5, — это $-30$. Поэтому числа на красных картах — различные кратные 8 от $-24$ до $3s$, а на синих — различные кратные 5 от $-30$ до $r$. В частности, $3s$ делится на 8, а $r$ делится на 5.

а) Нет. Если $s=1$, то наибольшее число на красных картах равно $3\cdot 1=3$, а оно должно делиться на 8. Противоречие.

б) Нет. Пусть $s=40$. Тогда наибольшее красное число равно $3\cdot 40=120$. Кратных 8 чисел от $-24$ до $120$ ровно

$$\frac{120-(-24)}{8}+1=18+1=19,$$

поэтому красных карт не больше 19: $r⩽19$. Значит, все синие числа не больше 19, и они — различные кратные 5 из отрезка $[-30;19]$. Таких чисел всего 10: $-30,-25,\dots ,10,15$. А синих карт должно быть 40. Противоречие.

в) Оценка. Кратных 8 чисел от $-24$ до $3s$ ровно $\frac{3s+24}{8}+1=\frac{3s+32}{8}$, а красные числа различны, поэтому

$$r⩽\frac{3s+32}{8}.$$

Кратных 5 чисел от $-30$ до $r$ ровно $\frac{r+30}{5}+1=\frac{r+35}{5}$, а синие числа различны, поэтому

$$s⩽\frac{r+35}{5}\iff r⩾5s-35.$$

Объединим два неравенства:

$$5s-35⩽\frac{3s+32}{8},$$

$$40s-280⩽3s+32,$$

$$37s⩽312,s⩽\frac{312}{37}=8\frac{16}{37}.$$

Так как $s$ целое, $s⩽8$.

Пример. Пусть $s=8$. Наибольшее красное число $3\cdot 8=24$ делится на 8. Из неравенств $5\cdot 8-35⩽r⩽\frac{24+32}{8}$ получаем $5⩽r⩽7$, а $r$ кратно 5, значит, $r=5$.

• Синие карты (8 штук): $-30,-25,-20,-15,-10,-5,0,5$.
• Красные карты (5 штук): $-8,0,8,16,24$.

Проверим. Все числа больше $-32$, на картах одного цвета числа различны. Синие числа делятся на 5, красные — на 8. Наибольшее красное число $24=3\cdot 8$ — утроенное количество синих карт. Наибольшее синее число $5$ равно количеству красных карт.

Значит, наибольшее количество синих карт равно 8.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 8.