Последовательность a₁,a₂,…,a₆ состоит из неотрицательных однозначных… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Последовательности и прогрессии средняя 2016 развёрнутое

Последовательность $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{6}$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_{k}$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$ -го. Известно, что $M_{1} = 1, M_{2} = 2.$

а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_{3} = 1, 6.$

б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_{3} = 3 ?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $M_{3} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим через $S$ сумму всех шести членов. Среднее всех членов, кроме $k$ -го, — это сумма пяти оставшихся, делённая на 5:

$M_{k} = \frac{S - a _{k}}{5} \Leftrightarrow a_{k} = S - 5 M_{k} .$

Из условия $M_{1} = 1$ , $M_{2} = 2$ получаем

$a_{1} = S - 5, a_{2} = S - 10.$

а) При $M_{3} = 1, 6$ получаем $a_{3} = S - 5 \cdot 1, 6 = S - 8$ . Возьмём $S = 10$ : тогда $a_{1} = 5$ , $a_{2} = 0$ , $a_{3} = 2$ , и на остальные три члена приходится $10 - 5 - 0 - 2 = 3$ . Пусть $a_{4} = a_{5} = a_{6} = 1$ .

Пример: $5, 0, 2, 1, 1, 1$ . Проверка: все члены — неотрицательные однозначные числа, $S = 10$ ,

$M_{1} = \frac{10 - 5}{5} = 1, M_{2} = \frac{10 - 0}{5} = 2, M_{3} = \frac{10 - 2}{5} = 1, 6.$

б) Нет. При $M_{3} = 3$ получаем $a_{3} = S - 15$ . Тогда

$a_{1} - a_{3} = (S - 5) - (S - 15) = 10.$

Но $a_{1} ⩽ 9$ и $a_{3} ⩾ 0$ , поэтому $a_{1} - a_{3} ⩽ 9$ . Противоречие.

в) Оценка. Из $a_{1} = S - 5$ и $a_{1} ⩽ 9$ следует $S ⩽ 14$ . Так как $a_{3} ⩾ 0$ ,

$M_{3} = \frac{S - a _{3}}{5} ⩽ \frac{14 - 0}{5} = 2, 8.$

Пример. Оценка достигается при $S = 14$ и $a_{3} = 0$ . Тогда $a_{1} = 9$ , $a_{2} = 4$ , а на $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ приходится $14 - 9 - 4 - 0 = 1$ : возьмём $a_{4} = 1$ , $a_{5} = a_{6} = 0$ .

Последовательность $9, 4, 0, 1, 0, 0$ : все члены однозначные неотрицательные, $S = 14$ ,

$M_{1} = \frac{14 - 9}{5} = 1, M_{2} = \frac{14 - 4}{5} = 2, M_{3} = \frac{14 - 0}{5} = 2, 8.$

Ответ: а) например, $5, 0, 2, 1, 1, 1$ ; б) нет; в) $2, 8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20