ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в кошельке было $x$ монет по 2 рубля, $y$ — по 5 рублей и $z$ — по 10 рублей. Все монеты потрачены, поэтому их общая стоимость равна суммарной стоимости покупок $S$:

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=n,\\ 2x+5y+10z=S.\end{array}$$

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

$$3y+8z=S-2n.$$

а) Да. Нужно разбить 14 монет на две группы с суммами 56 и 29 рублей. Оплатим кисточку шестью монетами:

$$29=10+5+5+5+2+2,$$

а альбом — восемью монетами:

$$56=10+10+10+10+10+2+2+2.$$

Всего $6+8=14$ монет: 6 по 10 рублей, 3 по 5 рублей и 5 по 2 рубля. Каждая покупка оплачена без сдачи, все монеты потрачены.

б) Нет. Здесь $S=10+15+20=45$ и $n=19$, поэтому

$$3y+8z=45-38=7.$$

Если $z⩾1$, то левая часть не меньше 8, что больше 7. Если $z=0$, то $3y=7$, но 7 не делится на 3. Решений в целых неотрицательных числах нет, значит, такие покупки невозможны.

в) Здесь $S=85$ и $n=24$:

$$3y+8z=85-48=37,y=\frac{37-8z}{3}.$$

Так как $y⩾0$, то $8z⩽37$, то есть $z⩽4$. Переберём все возможные $z$:

$$\begin{array}{cccccc}z& 0& 1& 2& 3& 4\\ 37-8z& 37& 29& 21& 13& 5\\ y& \text{нецелое}& \text{нецелое}& 7& \text{нецелое}& \text{нецелое}\end{array}$$

Оценка. Подходит только $z=2$, $y=7$, тогда $x=24-7-2=15$. Значит, в любом подходящем кошельке ровно 7 пятирублёвых монет, и меньше быть не может.

Пример. 15 монет по 2 рубля, 7 монет по 5 рублей и 2 монеты по 10 рублей: всего $15+7+2=24$ монеты, сумма $30+35+20=85$ рублей — ими можно расплатиться за фломастеры без сдачи.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.