ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в школе № 1 было $n$ учащихся со средним баллом $A$, а в школе № 2 — $m=9-n$ учащихся со средним баллом $B$. В каждой школе не меньше двух учащихся, поэтому $2⩽n⩽7$ и $2⩽m⩽7$. Числа $A$ и $B$ — натуральные. Сумма баллов школы равна среднему баллу, умноженному на число учащихся: $nA$ и $mB$. Пусть переходящий учащийся набрал $x$ баллов.

а) Да, мог. Пусть в школе № 1 два учащихся с баллами 1 и 19 (средний балл $\frac{1+19}{2}=10$), а в школе № 2 семь учащихся, каждый набрал 1 балл (средний балл 1). Все условия выполнены: в школах 2 и 7 учащихся, всего 9, средние баллы целые.

Учащийся с 19 баллами переходит в школу № 2. В школе № 1 остаётся один учащийся с 1 баллом, средний балл стал равен 1, то есть уменьшился в 10 раз.

б) Нет. Пусть $B=7$. После перехода в школе № 2 стало $m+1$ учащихся, а средний балл уменьшился на 10% и стал равен $0,9\cdot 7=6,3=\frac{63}{10}$. Тогда сумма баллов в школе № 2 после перехода равна

$$\frac{63(m+1)}{10}.$$

Это целое число (баллы натуральные), значит, $63(m+1)$ делится на 10. Числа 63 и 10 взаимно просты, поэтому $m+1$ делится на 10, то есть $m+1⩾10$. Но $m⩽7$, и $m+1⩽8$. Противоречие.

в) Составим уравнения. В школе № 1 осталось $n-1$ учащихся с суммой $nA-x$, и их средний балл равен $0,9A$:

$$\frac{nA-x}{n-1}=0,9A\iff 10nA-10x=9nA-9A\iff 10x=A(n+9).$$

В школе № 2 стало $m+1$ учащихся с суммой $mB+x$, их средний балл равен $0,9B$:

$$\frac{mB+x}{m+1}=0,9B\iff 10mB+10x=9mB+9B\iff 10x=B(9-m)=Bn.$$

Приравняем: $A(n+9)=Bn$, откуда

$$B=\frac{A(n+9)}{n}=A\left(1+\frac{9}{n}\right).$$

Оценка. Каждый учащийся набрал хотя бы 1 балл, поэтому средний балл оставшихся в школе № 1 не меньше 1: $0,9A⩾1$, $A⩾\frac{10}{9}$. Так как $A$ целое, $A⩾2$. Кроме того, $n⩽7$, поэтому $\frac{9}{n}⩾\frac{9}{7}$. Получаем

$$B=A\left(1+\frac{9}{n}\right)⩾2\cdot \left(1+\frac{9}{7}\right)=\frac{32}{7}=4\frac{4}{7}.$$

Так как $B$ целое, $B⩾5$.

Пример. Ищем случай $B=5$: из $A(n+9)=5n$ при $A=2$ получаем $2n+18=5n$, $n=6$. Тогда $m=3$, $x=\frac{Bn}{10}=\frac{30}{10}=3$.

Школа № 1: 6 учащихся с баллами $1,1,1,1,5,3$ — сумма 12, средний балл 2. Школа № 2: 3 учащихся с баллами $5,5,5$ — сумма 15, средний балл 5. Учащийся с 3 баллами переходит из школы № 1 в школу № 2.

После перехода школа № 1: $1,1,1,1,5$ — сумма 9, средний балл $\frac{9}{5}=1,8=0,9\cdot 2$, уменьшился на 10%. Школа № 2: $5,5,5,3$ — сумма 18, средний балл $\frac{18}{4}=4,5=0,9\cdot 5$, тоже уменьшился на 10%.

Все условия выполнены, значит, наименьший первоначальный средний балл в школе № 2 равен 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.