Дана правильная несократимая дробь a/b, где a и b — натуральные… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2023 развёрнутое

Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}$ , где $a$ и $b$ — натуральные числа. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить несократимую дробь $\frac{a + b}{b + 2 a}$ .

а) Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$ ?

б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за $2$ хода?

в) Дробь $\frac{c}{d}$ больше $\frac{7}{10}$ . Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d}$ , которую нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за $2$ хода.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Заметим сначала, что ход сохраняет правильность дроби: из $\frac{a}{b}$ получается $\frac{a + b}{b + 2 a}$ , а $a + b < b + 2 a$ , так как $a > 0$ .

а) Да. Сделаем три хода:

$\frac{2}{3} ⟶ \frac{2 + 3}{3 + 2 \cdot 2} = \frac{5}{7} ⟶ \frac{5 + 7}{7 + 2 \cdot 5} = \frac{12}{17} ⟶ \frac{12 + 17}{17 + 2 \cdot 12} = \frac{29}{41} .$

б) Нет. Пусть исходная дробь $\frac{x}{y}$ . После первого хода получаем $\frac{x + y}{2 x + y}$ . После второго хода числитель равен $(x + y) + (2 x + y) = 3 x + 2 y$ , а знаменатель $(2 x + y) + 2 (x + y) = 4 x + 3 y$ . Итак, за два хода

$\frac{x}{y} ⟶ \frac{x + y}{2 x + y} ⟶ \frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} .$

Пусть $\frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} = \frac{6}{7}$ . По свойству пропорции

$7 (3 x + 2 y) = 6 (4 x + 3 y),$

$21 x + 14 y = 24 x + 18 y,$

$3 x + 4 y = 0.$

Но $x$ и $y$ натуральные, поэтому $3 x + 4 y > 0$ . Противоречие, получить $\frac{6}{7}$ за два хода нельзя.

в) Все дроби, получающиеся ходами, несократимы, поэтому речь идёт о несократимой дроби $\frac{c}{d}$ .

Несократимость результата. Пусть число $p$ делит и $3 x + 2 y$ , и $4 x + 3 y$ . Тогда оно делит

$3 (4 x + 3 y) - 4 (3 x + 2 y) = y и 3 (3 x + 2 y) - 2 (4 x + 3 y) = x .$

Так как дробь $\frac{x}{y}$ несократима, $p = 1$ . Значит, дробь $\frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y}$ несократима.

Когда $\frac{c}{d}$ получается за два хода. Пусть $\frac{c}{d}$ получена за два хода из $\frac{x}{y}$ . Две несократимые дроби равны, только если равны их числители и знаменатели:

${3 x + 2 y = c, 4 x + 3 y = d .$

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и вычтем: $x = 3 c - 2 d$ . Умножим первое на 4, второе на 3 и вычтем из второго первое: $y = 3 d - 4 c$ . Итак, исходная дробь определяется однозначно:

$x = 3 c - 2 d, y = 3 d - 4 c .$

Она должна быть правильной дробью из натуральных чисел, то есть $0 < x < y$ :

$3 c - 2 d > 0 \Leftrightarrow \frac{c}{d} > \frac{2}{3};$

$3 c - 2 d < 3 d - 4 c \Leftrightarrow 7 c < 5 d \Leftrightarrow \frac{c}{d} < \frac{5}{7} .$

(Условие $y > 0$ следует из $y > x > 0$ .) Обратно, если несократимая дробь удовлетворяет $\frac{2}{3} < \frac{c}{d} < \frac{5}{7}$ , то числа $x = 3 c - 2 d$ и $y = 3 d - 4 c$ натуральные, $x < y$ , дробь $\frac{x}{y}$ несократима (общий делитель $x$ и $y$ делил бы $c = 3 x + 2 y$ и $d = 4 x + 3 y$ ), и за два хода из неё получается ровно $\frac{3 x + 2 y}{4 x + 3 y} = \frac{c}{d}$ .

Вывод: несократимая дробь получается за два хода тогда и только тогда, когда $\frac{2}{3} < \frac{c}{d} < \frac{5}{7}$ .

Оценка. Так как $\frac{7}{10} > \frac{2}{3}$ (сравним $21 > 20$ ), любая несократимая дробь из промежутка $(\frac{7}{10}; \frac{5}{7})$ получается за два хода. Значит, искомая дробь не меньше $\frac{5}{7}$ .

Пример. Дробь $\frac{5}{7}$ больше $\frac{7}{10}$ (сравним $50 > 49$ ). Для неё $x = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 = 1$ , $y = 3 \cdot 7 - 4 \cdot 5 = 1$ , то есть единственная возможная исходная дробь — $\frac{1}{1}$ , а она не правильная. Значит, $\frac{5}{7}$ за два хода получить нельзя.

Следовательно, наименьшая такая дробь — $\frac{5}{7}$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{5}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20