ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Будем пользоваться известным свойством: разность $n-S(n)$ делится на 9 (а значит, и на 3). Это следует из того, что $10^k-1=99\dots 9$ делится на 9, поэтому число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9 и на 3.

а) Нет. Запишем

$$5n+S(n)=6n-(n-S(n)).$$

Оба слагаемых справа делятся на 3: $6n$ — очевидно, $n-S(n)$ — по свойству выше. Значит, $5n+S(n)$ делится на 3. Но $2027=3\cdot 675+2$ на 3 не делится. Противоречие, такого $n$ нет.

б) Нет. Аналогично запишем

$$10n+S(n)=11n-(n-S(n)).$$

Число $n-S(n)$ делится на 9, поэтому $10n+S(n)$ и $11n$ дают одинаковые остатки при делении на 9. Так как $11n=9n+2n$, то и $2n$ даёт тот же остаток. Число 2027 даёт остаток 2 (сумма цифр $2+0+2+7=11$). Значит, $2n-2=2(n-1)$ делится на 9, а так как 2 и 9 взаимно просты, $n-1$ делится на 9: число $n$ даёт остаток 1 при делении на 9.

Теперь оценим $n$. Так как $S(n)⩾1$, то $10n<2027$, откуда $n⩽202$. Значит, $n$ не более чем трёхзначное и $S(n)⩽9+9+9=27$. Тогда

$$10n=2027-S(n)⩾2027-27=2000,n⩾200.$$

Итак, $n\in \{200;201;202\}$. Эти числа дают остатки $2$, $3$, $4$ при делении на 9, а не 1. Противоречие, такого $n$ нет. (Можно проверить и напрямую: $2002$, $2013$, $2024$ — ни одно не равно 2027.)

в) Пусть $n=\overline{xy}=10x+y$, где $x$ — цифра от 1 до 9, $y$ — от 0 до 9. Тогда $S(n)=x+y$ и $1⩽x+y⩽18$. Из условия

$$9kn=15889-(x+y).$$

Левая часть делится на 9, значит, и $15889-(x+y)$ делится на 9. Число $15889=9\cdot 1765+4$ даёт остаток 4, поэтому $x+y$ тоже даёт остаток 4 при делении на 9. С учётом $1⩽x+y⩽18$ получаем $x+y=4$ или $x+y=13$.

Случай $x+y=4$. Тогда $9kn=15885$, то есть $kn=1765=5\cdot 353$, где 353 — простое. Делители числа 1765: $1,5,353,1765$ — среди них нет двузначных. Значит, двузначного $n$ здесь нет.

Случай $x+y=13$. Тогда $9kn=15876$, то есть $kn=1764=2^2\cdot 3^2\cdot 7^2$. Двузначные числа с суммой цифр 13: $49,58,67,76,85,94$. Число $n$ должно делить 1764, то есть не иметь простых делителей, кроме 2, 3 и 7. Но $58=2\cdot 29$, $67$ — простое, $76=4\cdot 19$, $85=5\cdot 17$, $94=2\cdot 47$ — не подходят. Остаётся $n=49$, и тогда

$$k=\frac{1764}{49}=36.$$

Оценка. Мы разобрали все случаи: если двузначное $n$ с равенством $9kn+S(n)=15889$ существует, то обязательно $n=49$ и $k=36$. Значит, меньшего $k$ не бывает.

Пример. При $k=36$ и $n=49$:

$$9\cdot 36\cdot 49+(4+9)=15876+13=15889.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) 36.