Задумано несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках сложная 2017 развёрнутое

Задумано несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти числа и их всевозможные суммы (по два, по три и так далее) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n,$ выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число $n,$ а остальные равные $n$ числа стирают. Например, если задуманы числа $1, 3, 3, 4,$ то на доске будет записан набор $1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.$

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $2, 4, 6, 8, 10.$

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 ?$

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Заметим два общих факта. Каждое число на доске — либо задуманное, либо сумма нескольких задуманных, каждое из которых меньше этой суммы. Поэтому наименьшее число на доске — наименьшее задуманное. А наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел.

а) Например, задуманы пять двоек: $2, 2, 2, 2, 2$ . Сумма любых $k$ из них равна $2 k$ , где $k = 1, \dots, 5$ , поэтому на доске будут числа $2, 4, 6, 8, 10$ .

б) Нет. Предположим, что такие задуманные числа $a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ \dots ⩽ a_{n}$ существуют.

Наименьшее число на доске равно 1, значит, $a_{1} = 1$ . Наибольшее число на доске равно 22, значит, $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 22$ . На доске больше одного числа, поэтому $n ⩾ 2$ .

Число $a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ — это сумма задуманных чисел (или само задуманное число при $n = 2$ ), поэтому оно должно быть на доске. Но

$a_{2} + \dots + a_{n} = 22 - a_{1} = 22 - 1 = 21,$

а числа 21 на доске нет. Противоречие, такого примера не существует.

в) Будем восстанавливать задуманные числа слева направо. Помним, что каждое задуманное число есть на доске.

Число 7 — наименьшее на доске, значит, оно задумано. Оно задумано ровно один раз: иначе на доске было бы $7 + 7 = 14$ .

Число 8 не может быть суммой меньших задуманных чисел (меньше него задумано только одно число 7), значит, 8 задумано. Сколько раз — пока неизвестно.

Число 9 отсутствует на доске, значит, оно не задумано.

Число 10. Меньше него задуманы только 7 и, возможно, несколько восьмёрок, а сумма любых двух из них не меньше $7 + 8 = 15 > 10$ . Значит, 10 задумано. Оно задумано ровно один раз: иначе на доске было бы $10 + 10 = 20$ .

Число 15 не задумано: иначе на доске было бы число $7 + 8 + 10 + 15 = 40$ , а его нет. (Значит, 15 появляется как $7 + 8$ .)

Сумма всех задуманных чисел равна наибольшему числу доски, 41. Одна семёрка, одна восьмёрка и одна десятка дают $7 + 8 + 10 = 25$ , поэтому остальные задуманные числа в сумме дают $41 - 25 = 16$ . Каждое из них есть на доске, не меньше 8 (семёрка задумана один раз, а меньше 7 чисел нет) и не больше 16. На доске от 8 до 16 стоят числа $8, 10, 15, 16$ ; но 10 больше не задумано, а 15 не задумано совсем. Значит, остальные числа — восьмёрки и шестнадцатки с суммой 16. Возможны два варианта: одно число 16 или две восьмёрки.

Получаем два кандидата: $7, 8, 10, 16$ и $7, 8, 8, 8, 10$ . Проверим, что каждый из них даёт ровно нужный набор (и никаких лишних чисел).

Для $7, 8, 10, 16$ :

по одному: $7, 8, 10, 16$ ;
по два: $7 + 8 = 15, 7 + 10 = 17, 8 + 10 = 18, 7 + 16 = 23, 8 + 16 = 24, 10 + 16 = 26$ ;
по три: $7 + 8 + 10 = 25, 7 + 8 + 16 = 31, 7 + 10 + 16 = 33, 8 + 10 + 16 = 34$ ;
все четыре: $41$ .

Для $7, 8, 8, 8, 10$ :

по одному: $7, 8, 10$ ;
по два: $7 + 8 = 15, 8 + 8 = 16, 7 + 10 = 17, 8 + 10 = 18$ ;
по три: $7 + 8 + 8 = 23, 8 + 8 + 8 = 24, 7 + 8 + 10 = 25, 8 + 8 + 10 = 26$ ;
по четыре: $7 + 8 + 8 + 8 = 31, 7 + 8 + 8 + 10 = 33, 8 + 8 + 8 + 10 = 34$ ;
все пять: $41$ .

В обоих случаях на доске получается набор $7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41$ . Других вариантов нет.

Ответ: а) например, $2, 2, 2, 2, 2$ ; б) нет; в) $7, 8, 10, 16$ или $7, 8, 8, 8, 10$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20