ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Каждое записанное число — одно из чисел $1,2,3,4,5$. Каждый следующий день чисел становится меньше, а их сумма — больше.

а) Да, может. Заметим: если заменить четыре единицы одной пятёркой, то чисел станет на 3 меньше, а сумма вырастет на 1 (было $4$, стало $5$). Значит, повторяя такую замену каждый день, мы выполним оба требования.

Пусть в первый день записано 100 единиц, а в каждый следующий день четыре единицы заменяются одной пятёркой. Тогда в $k$-й день записано $100-4(k-1)$ единиц и $k-1$ пятёрок: чисел $100-3(k-1)$, сумма $100+(k-1)$. Для семи дней:

Количества $100,97,94,\dots ,82$ убывают, суммы $100,101,\dots ,106$ растут, все числа меньше 6. Значит, $n=7>6$ возможно.

б) Да, может. Первый день тянет общее среднее вниз, поэтому в остальные дни нужно записывать почти одни пятёрки. Пример:

Проверим условия. Количества чисел по дням: $100,99,98,97$ — убывают. Суммы: первый день $1+99\cdot 2=199$; второй $95\cdot 5+4\cdot 2=483$; третий $96\cdot 5+2\cdot 2=484$; четвёртый $97\cdot 5=485$ — растут.

Среднее арифметическое первого дня: $\frac{199}{100}=1,99<2$.

Всего записано $100+99+98+97=394$ числа, их сумма $199+483+484+485=1651$. Так как $4\cdot 394=1576<1651$, среднее всех чисел

$$\frac{1651}{394}>4.$$

в) Оценка. Пусть $c_k$ — количество чисел в $k$-й день, $s_k$ — их сумма. Каждое число не меньше 1, поэтому $c_1⩽s_1=5$. Количества — натуральные числа и строго убывают, значит, каждый день количество уменьшается хотя бы на 1:

$$c_k⩽c_1-(k-1)⩽6-k.$$

Так как в последний день записано хотя бы одно число, $6-n⩾1$, то есть $n⩽5$.

Каждое число не больше 5, поэтому $s_k⩽5c_k⩽5(6-k)$. Суммы — целые и строго растут, поэтому каждая предыдущая сумма хотя бы на 1 меньше следующей. Разберём все возможные $n$.

$n=1$: сумма всех чисел равна 5.

$n=2$: $s_2⩽5\cdot 4=20$, всего не больше $5+20=25$.

$n=3$: $s_3⩽5\cdot 3=15$, тогда $s_2⩽14$, всего не больше $5+14+15=34$.

$n=4$: $s_4⩽5\cdot 2=10$, тогда $s_3⩽9$, $s_2⩽8$, всего не больше $5+8+9+10=32$.

$n=5$: $s_5⩽5\cdot 1=5$, тогда $s_4⩽4$, $s_3⩽3$, $s_2⩽2$. Но $s_2>s_1=5$ — противоречие, такое $n$ невозможно.

Во всех случаях сумма всех чисел не больше 34.

Пример. Оценка для $n=3$ достигается, если во второй день записать четыре числа с суммой 14, а в третий — три пятёрки:

Количества $5,4,3$ убывают, суммы $5,14,15$ растут, все числа меньше 6, сумма первого дня равна 5. Сумма всех чисел $5+14+15=34$.

Ответ: а) да; б) да; в) 34.