ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Наименьшая возможная сумма ста различных натуральных чисел равна

$$1+2+\dots +100=\frac{100\cdot 101}{2}=5050.$$

Наша сумма больше на $5120-5050=70$. Этот «запас» в 70 и будет ограничивать, какие числа могут стоять на доске.

а) Пусть на доске есть число 230. Остальные 99 чисел — различные натуральные, поэтому их сумма не меньше $1+2+\dots +99=\frac{99\cdot 100}{2}=4950$. Тогда сумма всех чисел не меньше

$$4950+230=5180>5120.$$

Противоречие, поэтому числа 230 на доске быть не может.

Подготовка к пунктам б) и в). Упорядочим числа по возрастанию: $b_1<b_2<\dots <b_{100}$. Так как числа натуральные и различные, $b_1⩾1$, $b_2⩾b_1+1⩾2$ и так далее: $b_i⩾i$ для каждого $i$. Поэтому все разности $b_i-i$ неотрицательны, а их сумма равна запасу:

$$(b_1-1)+(b_2-2)+\dots +(b_{100}-100)=5120-5050=70.$$

Докажем, что каждое отсутствующее на доске число $m⩽100$ «съедает» из запаса не меньше $101-m$.

Пусть на доске нет чисел $m_1<m_2<\dots <m_k$, каждое из которых не больше 100. Возьмём номер $i$ и пусть ровно $j$ из отсутствующих чисел не превосходят $i$. Среди чисел $1,2,\dots ,i+j-1$ эти $j$ чисел на доске отсутствуют (они не больше $i$), значит, на доске из этого набора не больше $(i+j-1)-j=i-1$ чисел. Поэтому $i$-е по величине число доски больше $i+j-1$:

$$b_i⩾i+j,b_i-i⩾j.$$

Сложим эти неравенства по всем $i$ от 1 до 100. Отсутствующее число $m_s$ входит в счётчик $j$ для всех номеров $i$ от $m_s$ до 100, то есть $101-m_s$ раз. Получаем

$$70⩾(101-m_1)+(101-m_2)+\dots +(101-m_k).$$

б) Пусть числа 14 на доске нет. По доказанному запас должен быть не меньше $101-14=87$, но он равен $70<87$. Противоречие, поэтому число 14 на доске обязательно есть.

в) Чисел, кратных 14 и не больших 100, ровно семь: $14,28,42,56,70,84,98$.

Оценка. Предположим, что на доске меньше четырёх чисел, кратных 14. Тогда из этих семи чисел на доске отсутствуют хотя бы четыре. «Стоимость» $101-m$ тем меньше, чем больше $m$, поэтому четыре отсутствующих числа стоят не меньше, чем четыре наибольших из семи — $98,84,70,56$:

$$(101-98)+(101-84)+(101-70)+(101-56)=3+17+31+45=96>70.$$

Противоречие с тем, что запас равен 70. Значит, хотя бы четыре из чисел $14,28,\dots ,98$ на доске есть, и чисел, кратных 14, не меньше четырёх.

Пример. Возьмём все числа от 1 до 100, кроме $70$, $84$ и $98$, и добавим к ним числа $101$, $102$ и $119$. Чисел $97+3=100$, все они различны. Сумма:

$$5050-(70+84+98)+(101+102+119)=5050-252+322=5120.$$

Кратны 14 из них только $14,28,42,56$: числа $70,84,98$ мы убрали, а $101$, $102$ и $119$ на 14 не делятся (ближайшие кратные — $112$ и $126$). Ровно четыре числа, кратных 14.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.