Есть числа и Из них можно сделать числа и или и только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Найдём величины, которые меняются предсказуемо.
Сумма. При ходе сумма становится , при ходе — тоже . Значит, каждый ход увеличивает сумму ровно на , и после ходов сумма равна .
Разность. При первом ходе разность становится , при втором — . Значит, остаток разности при делении на не меняется. В начале , остаток . Поэтому всегда даёт остаток при делении на .
а) Нет, нельзя. После ходов сумма чисел равна . Оба числа натуральные, поэтому каждое из них не больше , и число получиться не может.
б) Каждый ход увеличивает сумму на , а в начале она равна . Значит, сумма станет равна ровно через хода — ни раньше, ни позже.
Покажем, что за хода действительно можно пройти, не нарушая натуральности. Будем чередовать ходы:
За такую пару ходов оба числа увеличиваются на , и числа остаются натуральными (второе число после первого хода не меньше ). Повторив пару ходов раз, сделаем хода и получим пару с суммой .
в) Ответ — ход. Докажем это в две части: оценка и пример.
Оценка. Если оба числа не больше , то их сумма не больше , то есть и .
Пусть . Тогда сумма равна , и при числах не больше это возможно только для пары . Но у неё , а это число делится на и не даёт остаток . Противоречие. Значит, .
Пример. После хода сумма равна , и подходит пара : у неё . Построим её.
Повторим пару ходов из пункта б) раз: после каждой пары числа равны , а в середине пары — , где — номер пары от до , так что числа не превышают . После ходов получаем . Дальше ещё три хода:
Всего ход, все числа натуральные и не больше .
Ответ: а) нет; б) ; в) .