ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

На каждой карточке с одной стороны записано одно из данных чисел, с другой — тоже одно из данных чисел, и каждое число встречается ровно один раз на лицевых сторонах и ровно один раз на обратных.

а) Нет, не может. Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю, то есть сумма чисел на какой-то карточке равна $0$. Если на карточке с обеих сторон одно и то же число $x$, то сумма равна $2x\ne 0$, так как нуля среди чисел нет. Если числа разные, то сумма равна нулю, только если они противоположны. Но среди чисел $1,-2,-3,4,-5,7,-8,9,10,-11$ нет пары противоположных (все модули различны). Значит, ни одна сумма не равна нулю, и произведение не равно $0$.

б) Нет, не может. Среди данных чисел чётных четыре: $-2$, $4$, $-8$, $10$, а нечётных шесть: $1$, $-3$, $-5$, $7$, $9$, $-11$.

Рассмотрим шесть карточек, у которых на лицевой стороне нечётное число. На обратных сторонах чётных чисел всего четыре, поэтому хотя бы у двух из этих шести карточек на обратной стороне тоже нечётное число. Сумма двух нечётных чисел чётна. Значит, хотя бы две суммы чётные, и произведение делится на $2\cdot 2=4$.

Число $1$ на $4$ не делится, поэтому произведение не может равняться $1$.

в) Ответ — $4$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. Произведение — целое число. По пункту а) оно не равно $0$, а по пункту б) оно делится на $4$. Значит, неотрицательное произведение не может равняться $1$, $2$ или $3$, и оно не меньше $4$.

Пример. Чтобы получить $4$, нужно, чтобы ровно две суммы были равны $\pm 2$, а остальные — $\pm 1$, причём минусов чётное число. Разобьём числа на пары, отличающиеся по модулю на $1$ и разных знаков: $(1;-2)$, $(4;-3)$, $(7;-5)$, $(9;-8)$, $(10;-11)$. Каждую пару запишем на двух карточках «крест-накрест» (первое число — лицевая сторона, второе — обратная):

$$(1;-2),(-2;1),(4;-3),(-3;4),(7;-5),(-5;7),(9;-8),(-8;9),(10;-11),(-11;10).$$

Каждое число встречается ровно один раз среди лицевых сторон и ровно один раз среди обратных. Суммы на карточках: $-1,-1,1,1,2,2,1,1,-1,-1$. Произведение

$$(-1)\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-1)=4.$$

Ответ: а) нет; б) нет; в) $4$.