Пусть ab обозначает двузначное число, равное 10a+b, где a и b — десятичные цифры, a≠0. a) Существуют ли такие попарно различные… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2022 развёрнутое

Пусть $ab$ обозначает двузначное число, равное $10 a + b$ , где $a$ и $b$ — десятичные цифры, $a \neq = 0$ .

a) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры $a, b, c$ и $d$ , что $ab \cdot c d - ba \cdot d c = 297$ ?

б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры $a, b, c$ и $d$ , что $ab \cdot c d - ba \cdot d c = 1386$ , если среди цифр $a, b, c$ и $d$ есть цифра $7$ ?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение $ab \cdot c d - ba \cdot d c$ , если среди цифр $a, b, c$ и $d$ есть цифры $4$ и $7$ ?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Распишем двузначные числа через цифры и раскроем скобки:

$ab \cdot c d - ba \cdot d c = (10 a + b) (10 c + d) - (10 b + a) (10 d + c) = = 100 a c + 10 a d + 10 b c + b d - 100 b d - 10 b c - 10 a d - a c = = 99 a c - 99 b d = 99 (a c - b d) .$

Каждая из цифр $a$ , $b$ , $c$ , $d$ стоит первой в одном из двузначных чисел, поэтому все они отличны от нуля.

а) Да, существуют. Так как $297 = 99 \cdot 3$ , нужно, чтобы $a c - b d = 3$ . Подойдут $a = 3$ , $c = 9$ , $b = 6$ , $d = 4$ : цифры различны и ненулевые, $a c - b d = 27 - 24 = 3$ . Проверим напрямую:

$36 \cdot 94 - 63 \cdot 49 = 3384 - 3087 = 297.$

б) Нет, не существуют. Так как $1386 = 99 \cdot 14$ , нужно, чтобы $a c - b d = 14$ .

Одна из цифр равна $7$ , поэтому одно из произведений $a c$ или $b d$ делится на $7$ . Второе произведение отличается от него на $14$ , которое тоже делится на $7$ , значит, и второе произведение делится на $7$ . Но произведение двух цифр от $1$ до $9$ делится на простое число $7$ , только если одна из этих цифр равна $7$ . Тогда цифра $7$ встречается и среди $a$ , $c$ , и среди $b$ , $d$ — два раза, что противоречит различию цифр.

в) Ответ — $5841$ . Выражение равно $99 (a c - b d)$ , поэтому нужно найти наибольшее значение $a c - b d$ . Докажем ответ в две части: оценка и пример.

Оценка. Разберём, где стоят цифры $4$ и $7$ . Две оставшиеся цифры различны, каждая из них от $1$ до $9$ , поэтому их произведение не больше $9 \cdot 8 = 72$ и не меньше $1 \cdot 2 = 2$ .

$4$ и $7$ — это $a$ и $c$ : $a c - b d = 28 - b d ⩽ 28 - 2 = 26$ .
$4$ и $7$ — это $b$ и $d$ : $a c - b d = a c - 28 ⩽ 72 - 28 = 44$ .
$4$ — одна из цифр $a$ , $c$ , а $7$ — одна из цифр $b$ , $d$ : $a c - b d ⩽ 4 \cdot 9 - 7 \cdot 1 = 29$ .
$7$ — одна из цифр $a$ , $c$ , а $4$ — одна из цифр $b$ , $d$ : $a c - b d ⩽ 7 \cdot 9 - 4 \cdot 1 = 59$ .

Во всех случаях $a c - b d ⩽ 59$ , значит, выражение не больше $99 \cdot 59 = 5841$ .

Пример. Возьмём $a = 9$ , $b = 4$ , $c = 7$ , $d = 1$ : цифры различны, среди них есть $4$ и $7$ , и $a c - b d = 63 - 4 = 59$ . Проверим напрямую:

$94 \cdot 71 - 49 \cdot 17 = 6674 - 833 = 5841.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $5841$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20