ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел $\overline{a_1{b}_1},\overline{a_2{b}_2},\dots ,\overline{a_n{b}_n}$, все цифры от $1$ до $9$. Обозначим сумму первых цифр $A=a_1+\dots +a_n$ и сумму вторых цифр $B=b_1+\dots +b_n$. Тогда

$$S_1=(10a_1+b_1)+\dots +(10a_n+b_n)=10A+B=264,$$

а после перестановки цифр получаем сумму

$$S_2=(10b_1+a_1)+\dots +(10b_n+a_n)=10B+A.$$

а) Найдём, какими должны быть $A$ и $B$. Нужно $10A+B=264$ и $10B+A=4\cdot 264=1056$. Вычтем из второго уравнения первое:

$$9B-9A=792\iff B=A+88.$$

Подставим в первое: $10A+A+88=264$, $11A=176$, $A=16$, $B=104$.

Построим пример: $16$ чисел с первой цифрой $1$ (тогда $A=16$), а вторые цифры дадут в сумме $104$, например восемь шестёрок и восемь семёрок: $8\cdot 6+8\cdot 7=104$. То есть на доске восемь чисел $16$ и восемь чисел $17$.

Проверим:

$$8\cdot 16+8\cdot 17=128+136=264,8\cdot 61+8\cdot 71=488+568=1056=4\cdot 264.$$

б) Нет, не могла. Если $10A+B=264$ и $10B+A=528$, то вычитанием получаем

$$9(B-A)=528-264=264.$$

Но $264$ не делится на $9$ (сумма его цифр равна $12$), а $9(B-A)$ делится на $9$. Противоречие.

в) Ответ — $1254$. Выразим $B=264-10A$ и подставим в новую сумму:

$$S_2=10B+A=10(264-10A)+A=2640-99A.$$

Новая сумма тем больше, чем меньше $A$. Докажем ответ в две части: оценка и пример.

Оценка. Каждая первая цифра не меньше $1$, поэтому $A⩾n$. Каждая вторая цифра не больше $9$, поэтому $B⩽9n⩽9A$. Тогда

$$264=10A+B⩽10A+9A=19A\Rightarrow A⩾\frac{264}{19}=13\frac{17}{19}.$$

Так как $A$ целое, $A⩾14$, и

$$S_2=2640-99A⩽2640-99\cdot 14=2640-1386=1254.$$

Пример. Возьмём $A=14$, тогда $B=264-140=124$. Пусть на доске $14$ чисел с первой цифрой $1$, а вторые цифры дают $124$: двенадцать девяток и две восьмёрки, $12\cdot 9+2\cdot 8=108+16=124$. То есть на доске двенадцать чисел $19$ и два числа $18$.

Проверим:

$$12\cdot 19+2\cdot 18=228+36=264,12\cdot 91+2\cdot 81=1092+162=1254.$$

Ответ: а) например, восемь чисел $16$ и восемь чисел $17$; б) нет; в) $1254$.