ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Обозначим через $s$ количество синих карточек, через $k$ — количество красных. По условию наибольшее число на красной карточке равно $2s$, а наибольшее число на синей карточке равно $k$. Так как $k$ написано на синей карточке, оно делится на $5$.

Числа на красных карточках — различные чётные числа, большие $-80$ и не большие $2s$. Наименьшее чётное число, большее $-80$, — это $-78$. Чётных чисел от $-78$ до $2s$ всего

$$\frac{2s-(-78)}{2}+1=s+40,$$

поэтому красных карточек не больше этого количества:

$$k⩽s+40.(1)$$

Числа на синих карточках — различные числа, кратные $5$, большие $-80$ и не большие $k$. Наименьшее такое число — $-75$. Чисел, кратных $5$, от $-75$ до $k$ всего

$$\frac{k-(-75)}{5}+1=\frac{k+80}{5},$$

поэтому

$$s⩽\frac{k+80}{5}.(2)$$

а) Да, может. Пусть на столе $5$ красных карточек с числами $2$, $0$, $-2$, $-4$, $-6$ и одна синяя карточка с числом $5$.

Красные числа различны, чётны и больше $-80$; синее число делится на $5$ и больше $-80$. Наибольшее красное число $2$ равно удвоенному количеству синих карточек $2\cdot 1$. Наибольшее синее число $5$ равно количеству красных карточек. Все условия выполнены.

б) Нет, не может. Пусть $k=200$. Из неравенства (2) получаем

$$s⩽\frac{200+80}{5}=56.$$

А из неравенства (1) получаем $200⩽s+40$, то есть $s⩾160$. Противоречие: $160>56$.

в) Ответ — $70$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. Из неравенства (2) имеем $5s⩽k+80$. Умножим неравенство (1) на $5$ и воспользуемся этим:

$$5k⩽5s+200⩽(k+80)+200=k+280.$$

Отсюда $4k⩽280$, то есть $k⩽70$.

Пример. Чтобы оба неравенства обратились в равенства, возьмём $k=70$ и $s=30$: тогда $k=s+40$ и $s=\frac{k+80}{5}$. Значит, надо использовать все подходящие числа каждого цвета.

• Синие карточки ($30$ штук): все числа, кратные $5$, от $-75$ до $70$, то есть $-75,-70,\dots ,65,70$. Их $\frac{70+75}{5}+1=30$, наибольшее равно $70=k$.
• Красные карточки ($70$ штук): все чётные числа от $-78$ до $60$, то есть $-78,-76,\dots ,58,60$. Их $\frac{60+78}{2}+1=70$, наибольшее равно $60=2\cdot 30=2s$.

Все числа больше $-80$, числа одного цвета различны. Все условия выполнены, значит, $70$ красных карточек возможно.

Ответ: а) да; б) нет; в) $70$.