ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Всего у нас денег

$$28\cdot 2+20\cdot 5=56+100=156\text{рублей}.$$

а) Да, можно. Сумма $154$ рубля меньше всех денег на $2$ рубля, поэтому достаточно отложить одну монету в $2$ рубля. Возьмём $27$ монет по $2$ рубля и все $20$ монет по $5$ рублей:

$$27\cdot 2+20\cdot 5=54+100=154.$$

б) Нет, нельзя. Сумма $155$ нечётна. Монеты по $2$ рубля дают чётную сумму, поэтому монет по $5$ рублей нужно взять нечётное число, то есть не больше $19$. Тогда наибольшая сумма, которую можно набрать, равна

$$19\cdot 5+28\cdot 2=95+56=151<155.$$

Значит, $155$ рублей набрать нельзя.

в) Ответ — $4$ монеты. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. Сумму $160$ рублей нужно уметь набрать, а все монеты по $2$ и $5$ рублей дают только $156$ рублей. Значит, рублёвые монеты должны дать ещё хотя бы $160-156=4$ рубля, то есть их нужно не меньше $4$.

Пример. Покажем, что с четырьмя монетами по $1$ рублю можно набрать любую сумму от $1$ до $160$ рублей.

Сначала научимся набирать любую сумму от $0$ до $60$ рублей только монетами по $1$ и $2$ рубля.

• Чётную сумму до $56$ включительно набираем монетами по $2$ рубля (их $28$, вместе $56$ рублей).
• Нечётную сумму до $55$ включительно набираем так: одна монета в $1$ рубль, а остальное (чётное число до $54$) — монетами по $2$ рубля.
• Суммы $57$, $58$, $59$, $60$ набираем из всех $28$ монет по $2$ рубля ($56$ рублей) и $1$, $2$, $3$ или $4$ монет по $1$ рублю.

Теперь возьмём любую сумму $X$ от $61$ до $160$. Монетами по $5$ рублей можно набрать любое кратное $5$ число от $5$ до $100$. Возьмём столько пятирублёвых монет, чтобы остаток $X-5m$ попал в промежуток от $56$ до $60$: среди пяти подряд идущих чисел $56,\dots ,60$ ровно одно даёт тот же остаток при делении на $5$, что и $X$. Для этого нужно $5m=X-r$, где $56⩽r⩽60$, то есть $1⩽5m⩽104$, а так как $5m$ кратно $5$, то $5⩽5m⩽100$ — пятирублёвых монет хватает. Остаток $r$ набираем монетами по $1$ и $2$ рубля, как показано выше.

Суммы от $1$ до $60$ набираются без пятирублёвых монет. Значит, при добавлении $4$ монет по $1$ рублю можно набрать любую целую сумму от $1$ до $160$ рублей.

Ответ: а) да; б) нет; в) $4$.