ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое четырёх чисел — целое число тогда и только тогда, когда их сумма делится на $4$. Аналогично среднее пяти чисел целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $5$.

Ключевое свойство: все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на $20$.

Возьмём любые два записанных числа $x$ и $y$. Кроме них на доске ещё $8$ чисел; выберем из них три числа $p$, $q$, $r$. Суммы $x+p+q+r$ и $y+p+q+r$ делятся на $4$, значит, делится на $4$ и их разность

$$(x+p+q+r)-(y+p+q+r)=x-y.$$

Точно так же, взяв четыре других числа $p$, $q$, $r$, $t$ и сравнив суммы $x+p+q+r+t$ и $y+p+q+r+t$, получаем, что $x-y$ делится на $5$. Числа $4$ и $5$ взаимно просты, поэтому $x-y$ делится на $20$. Так как $x$ и $y$ были любыми, все числа дают одинаковый остаток при делении на $20$.

Верно и обратное. Если все числа дают остаток $r$ при делении на $20$, то сумма любых четырёх из них имеет вид $20t+4r$ и делится на $4$, а сумма любых пяти имеет вид $20t+5r$ и делится на $5$. Значит, условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда все десять различных чисел дают одинаковый остаток при делении на $20$.

а) Нет, не могут. Разность $2013-403=1610=20\cdot 80+10$ не делится на $20$, значит, числа $403$ и $2013$ дают разные остатки при делении на $20$ и не могут быть на доске одновременно.

б) Нет, не может. Число $403=4\cdot 100+3$ даёт остаток $3$ при делении на $4$. Все числа на доске дают тот же остаток при делении на $20$, а значит, и при делении на $4$: каждое из них имеет вид $4t+3$.

Квадрат натурального числа такого остатка не даёт. Если $m=2l$ чётно, то $m^2=4l^2$ делится на $4$. Если $m=2l+1$ нечётно, то $m^2=4l^2+4l+1$ даёт остаток $1$. Значит, квадрата на доске нет.

в) Ответ — $9$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. На доске есть число $1$, поэтому все числа дают остаток $1$ при делении на $20$. В частности, $n^2-1$ должно делиться на $20$. Проверим $n$ от $2$ до $8$:

$$n^2-1=3,8,15,24,35,48,63.$$

Ни одно из этих чисел не делится на $20$. Значит, $n⩾9$.

Пример. При $n=9$ имеем $81=4\cdot 20+1$. Запишем на доске десять чисел с остатком $1$ при делении на $20$:

$$1,21,41,61,81,101,121,141,161,181.$$

Числа различны, среди них есть $1$ и $81=9^2$. По доказанному выше сумма любых четырёх из них делится на $4$, а любых пяти — на $5$. Например, $\frac{1+21+41+61}{4}=31$ и $\frac{1+21+41+61+81}{5}=41$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $9$.