Пусть ml обозначает двузначное число, равное 10m+l, где m и l… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2024 развёрнутое

Пусть $m l$ обозначает двузначное число, равное $10 m + l$ , где $m$ и $l$ — цифры, $m \neq = 0$ .

а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры $a$ , $b$ , $c$ и $d$ , что $ab \cdot c d - ba \cdot d c = 99$ ?

б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры $a$ , $b$ , $c$ и $d$ , что $ab \cdot c d - ba \cdot d c = 1485,$ если среди цифр $a$ , $b$ , $c$ и $d$ есть цифра $5$ ?

в) Какое наибольшее значение может принимать выражение $ab \cdot c d - ba \cdot d c$ , если цифры $a$ , $b$ , $c$ и $d$ различны и среди них есть цифры $4$ и $6$ ?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Распишем двузначные числа через цифры: $ab = 10 a + b$ , $c d = 10 c + d$ , $ba = 10 b + a$ , $d c = 10 d + c$ . Раскроем скобки:

$ab \cdot c d - ba \cdot d c = (10 a + b) (10 c + d) - (10 b + a) (10 d + c) = = 100 a c + 10 a d + 10 b c + b d - 100 b d - 10 b c - 10 a d - a c = = 99 a c - 99 b d = 99 (a c - b d) .$

Каждая из цифр $a$ , $b$ , $c$ , $d$ стоит первой в одном из двузначных чисел, поэтому все они отличны от нуля.

а) Да, существуют. Нужно, чтобы $99 (a c - b d) = 99$ , то есть $a c - b d = 1$ . Подойдут, например, $a = 2$ , $c = 4$ , $b = 1$ , $d = 7$ : цифры различны и ненулевые, и $a c - b d = 8 - 7 = 1$ . Проверим напрямую:

$21 \cdot 47 - 12 \cdot 74 = 987 - 888 = 99.$

б) Нет, не существуют. Так как $1485 = 99 \cdot 15$ , нужно, чтобы $a c - b d = 15$ .

Одна из цифр равна $5$ , поэтому одно из произведений $a c$ или $b d$ делится на $5$ . Второе произведение отличается от него на $15$ , которое тоже делится на $5$ , значит, и второе произведение делится на $5$ . Но произведение двух цифр от $1$ до $9$ делится на простое число $5$ , только если одна из этих цифр равна $5$ . Получается, что цифра $5$ встречается и среди $a$ , $c$ , и среди $b$ , $d$ — то есть два раза. Это противоречит тому, что цифры различны.

в) Ответ — $4950$ . Выражение равно $99 (a c - b d)$ , поэтому нужно найти наибольшее значение $a c - b d$ . Докажем ответ в две части: оценка и пример.

Оценка. Разберём, где стоят цифры $4$ и $6$ . Две оставшиеся цифры различны, каждая из них от $1$ до $9$ , поэтому их произведение не больше $9 \cdot 8 = 72$ и не меньше $1 \cdot 2 = 2$ .

$4$ и $6$ — это $a$ и $c$ : $a c - b d = 24 - b d ⩽ 24 - 1 \cdot 2 = 22$ .
$4$ и $6$ — это $b$ и $d$ : $a c - b d = a c - 24 ⩽ 9 \cdot 8 - 24 = 48$ .
$4$ — одна из цифр $a$ , $c$ , а $6$ — одна из цифр $b$ , $d$ : $a c - b d ⩽ 4 \cdot 9 - 6 \cdot 1 = 30$ .
$6$ — одна из цифр $a$ , $c$ , а $4$ — одна из цифр $b$ , $d$ : $a c - b d ⩽ 6 \cdot 9 - 4 \cdot 1 = 50$ .

Во всех случаях $a c - b d ⩽ 50$ , значит, выражение не больше $99 \cdot 50 = 4950$ .

Пример. Возьмём $a = 6$ , $b = 4$ , $c = 9$ , $d = 1$ : цифры различны, среди них есть $4$ и $6$ , и $a c - b d = 54 - 4 = 50$ . Проверим напрямую:

$64 \cdot 91 - 46 \cdot 19 = 5824 - 874 = 4950.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $4950$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20