ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Каждое число на доске имеет вид $100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — цифры от $1$ до $9$ (нулей нет). После стирания второй цифры получается число $10a+c$. Обозначим через $S_3$ сумму исходных чисел, через $S_2$ — сумму полученных.

а) Возьмём два числа $192$ и $192$. Сумма исходных чисел $192+192=384$, после стирания получаются числа $12$ и $12$ с суммой $24$, и

$$384:24=16.$$

Значит, сумма полученных чисел в $16$ раз меньше суммы исходных. (Число $192$ удобно тем, что $192=16\cdot 12$.)

б) Нет, не может. Предположим, что $S_3=5,5S_2$, то есть $2S_3-11S_2=0$. Разность $2S_3-11S_2$ складывается из величин, посчитанных для каждого числа отдельно:

$$2(100a+10b+c)-11(10a+c)=200a+20b+2c-110a-11c=90a+20b-9c.$$

Так как $a⩾1$, $b⩾1$, $c⩽9$, каждая такая величина положительна:

$$90a+20b-9c⩾90+20-81=29>0.$$

Сумма положительных чисел не может равняться нулю — противоречие. Значит, сумма полученных чисел не может быть в $5,5$ раза меньше суммы исходных.

в) Ответ — $4$. Условие $S_3=17S_2$ означает, что $17S_2-S_3=0$. Для каждого числа обозначим

$$d=17(10a+c)-(100a+10b+c)=70a-10b+16c.$$

Тогда условие равносильно тому, что сумма величин $d$ по всем числам на доске равна нулю.

Выясним, какие значения может принимать $d$.

• Если $a⩾2$, то $d⩾140-90+16=66>0$.
• Если $a=1$ и $c=1$, то $d=86-10b$: при $b=9$ получаем $d=-4$ (число $191$), при $b=8$ — $d=6$ (число $181$), при $b⩽7$ — $d⩾16$.
• Если $a=1$ и $c⩾2$, то $d⩾70-90+32=12$.

Итак, отрицательное $d$ бывает только у числа $191$, и оно равно $-4$. У всех остальных чисел $d⩾6$, причём $d=6$ только у числа $181$, а у прочих $d⩾12$. В частности, ни у одного числа нет $d=8$.

Оценка. Пусть на доске $k$ чисел $191$ и $m$ других чисел. Сумма всех $d$ равна нулю, поэтому сумма $d$ у других чисел равна $4k$.

Других чисел хотя бы одно: если $m=0$, то сумма всех $d$ равна $-4k<0$. Значит, $4k⩾6$, то есть $k⩾2$.

Пусть $k=2$. Тогда сумма $d$ у других чисел равна $8$. Если другое число одно, у него $d=8$ — такого числа нет. Если других чисел хотя бы два, их сумма $d$ не меньше $6+6=12>8$. Значит, $k=2$ невозможно.

Следовательно, $k⩾3$ и $m⩾1$, и всего чисел на доске не меньше $3+1=4$.

Пример. Возьмём числа $191$, $191$, $191$, $192$. Сумма $d$ равна $3\cdot (-4)+12=0$. Проверим напрямую:

$$191+191+191+192=765,11+11+11+12=45,765:45=17.$$

Значит, четыре числа достаточно, и наименьшее количество чисел равно $4$.

Ответ: а) например, $192$ и $192$; б) нет; в) $4$.