ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим числа по кругу $a_1,a_2,\dots ,a_{12}$ (за $a_{12}$ снова идёт $a_1$). Записаны числа $|a_1-a_2|$, $|a_2-a_3|$, …, $|a_{12}-a_1|$.

а) Если расставить числа по порядку $1,2,\dots ,12$, получится одиннадцать разностей по $1$ и разность $|12-1|=11$, всего $22$. Нужно добавить $10$. Переставим число $8$ между $2$ и $3$:

$$1,2,8,3,4,5,6,7,9,10,11,12$$

(число $12$ соседствует с $1$). Разности по кругу:

$$1,6,5,1,1,1,1,2,1,1,1,11,$$

их сумма $1+6+5+1+1+1+1+2+1+1+1+11=32$. Это и есть нужная расстановка.

б) Нет, не может. Число $|x-y|$ имеет ту же чётность, что и $x-y$, а $x-y$ — ту же чётность, что и $x+y$ (они отличаются на чётное число $2y$). Поэтому сумма всех двенадцати модулей имеет ту же чётность, что и

$$(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+\dots +(a_{12}+a_1)=2(a_1+a_2+\dots +a_{12}).$$

Это число чётное, значит, сумма полученных чисел всегда чётна и не может равняться нечётному числу $29$.

в) Ответ — $72$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. Каждый модуль разности равен большему из двух соседних чисел минус меньшее. Каждое число стоит ровно в двух парах соседей — с левым и с правым. Поэтому сумма всех модулей равна

$$(\text{сумма 12 «больших» членов пар})-(\text{сумма 12 «меньших» членов пар}),$$

где все $24$ члена пар — это числа $1,2,\dots ,12$, каждое взятое ровно два раза.

Сумма $12$ «больших» членов не больше суммы $12$ самых больших из чисел $1,1,2,2,\dots ,12,12$, то есть не больше $2(7+8+9+10+11+12)=2\cdot 57=114$. Сумма $12$ «меньших» членов не меньше суммы $12$ самых маленьких, то есть не меньше $2(1+2+3+4+5+6)=2\cdot 21=42$. Значит, сумма полученных чисел не больше

$$114-42=72.$$

Пример. Чтобы оценка достигалась, каждое из чисел $7,\dots ,12$ должно стоять между двумя числами из $1,\dots ,6$. Чередуем большие и маленькие:

$$12,1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6.$$

Разности по кругу: $11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1$ и $|6-12|=6$. Сумма

$$(11+10+\dots +1)+6=66+6=72.$$

Ответ: а) например, $1,2,8,3,4,5,6,7,9,10,11,12$; б) нет; в) $72$.