ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть дано трёхзначное число $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$, а $b$ и $c$ — цифры от $0$ до $9$. Сумма его цифр равна $a+b+c$.

а) Да, может. Если частное равно $55$, то

$$100a+10b+c=55(a+b+c)\iff 45a=45b+54c\iff 5a=5b+6c.$$

Равенство выполняется, например, при $c=0$ и $a=b=1$. Проверим число $110$: сумма цифр $1+1+0=2$, и

$$110:2=55.$$

б) Нет, не может. Предположим, что частное равно $87$. Тогда

$$100a+10b+c=87(a+b+c)\iff 13a=77b+86c.$$

Так как $a⩽9$, левая часть не больше $13\cdot 9=117$, поэтому $77b+86c⩽117$. Отсюда $b$ и $c$ равны $0$ или $1$, причём не обе единицы ($77+86=163>117$). Разберём три случая.

• $b=c=0$: тогда $13a=0$, $a=0$, но у трёхзначного числа первая цифра не нуль.
• $b=1$, $c=0$: тогда $13a=77$, но $77$ не делится на $13$ ($13\cdot 5=65$, $13\cdot 6=78$).
• $b=0$, $c=1$: тогда $13a=86$, но $86$ не делится на $13$ ($13\cdot 6=78$, $13\cdot 7=91$).

Во всех случаях противоречие, значит, частное $87$ получиться не может.

в) Ответ — $37$. Число имеет вид $\overline{7bc}$. Оно не делится на $100$, значит, цифры $b$ и $c$ не равны нулю одновременно: $1⩽b+c⩽18$.

Пусть частное равно $n$. Выделим целую часть:

$$n=\frac{700+10b+c}{7+b+c}=\frac{(7+b+c)+(693+9b)}{7+b+c}=1+\frac{9(77+b)}{7+b+c}.$$

Значит, $n-1=\frac{9(77+b)}{7+b+c}$, и это число целое: сумма цифр $7+b+c$ делит $9(77+b)$.

Пример. Число $777$ не делится на $100$, сумма его цифр $21$, и $777:21=37$. Значит, частное $37$ достигается.

Оценка. Докажем, что частное всегда не меньше $37$. Разберём два случая.

Случай $b+c⩽12$. Числитель $9(77+b)⩾693$, а знаменатель $7+b+c⩽19$, поэтому

$$n-1⩾\frac{693}{19}=36\frac{9}{19}>36.$$

Число $n-1$ целое и больше $36$, значит, $n-1⩾37$, то есть $n⩾38>37$.

Случай $b+c⩾13$. Обозначим сумму цифр $s=7+b+c$, тогда $20⩽s⩽25$. Так как $c⩽9$, то $b=s-7-c⩾s-16$. Проверим, при каких $s$ и $b$ число $9(77+b)$ делится на $s$.

• $s=20$. Числа $20$ и $9$ взаимно просты, поэтому нужно $20\mid 77+b$. Но $4⩽b⩽9$, то есть $81⩽77+b⩽86$, а кратных $20$ там нет.
• $s=21=3\cdot 7$. На $3$ число $9(77+b)$ делится всегда, а на $7$ — только если $7\mid 77+b$, то есть $7\mid b$. При $5⩽b⩽9$ это $b=7$, тогда $c=21-7-7=7$. Получаем число $777$ с частным $37$.
• $s=22$. Нужно $22\mid 77+b$, но $83⩽77+b⩽86$, кратных $22$ там нет.
• $s=23$. Нужно $23\mid 77+b$, но $84⩽77+b⩽86$, кратных $23$ там нет.
• $s=24=8\cdot 3$. Нужно $8\mid 77+b$, но $85⩽77+b⩽86$, кратных $8$ там нет.
• $s=25$. Тогда $b=c=9$, нужно $25\mid 86$ — неверно.

Значит, при $b+c⩾13$ подходит только число $777$, и его частное равно $37$.

В обоих случаях частное не меньше $37$, а значение $37$ достигается на числе $777$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $37$.