ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая сумма денег на столе равна

$$2N+5(1200-N)=6000-3N.$$

Условие «любые $500$ монет дают не меньше четверти общей суммы» равносильно тому, что наименьшая возможная сумма $500$ монет не меньше $\frac{6000-3N}{4}$. Действительно, если самый «бедный» набор удовлетворяет условию, то и все остальные тоже, а если нет — он сам и есть нарушающий набор.

Найдём наименьшую сумму $500$ монет. Если среди них $k$ двухрублёвых и $500-k$ пятирублёвых, то сумма равна

$$2k+5(500-k)=2500-3k.$$

Она убывает с ростом $k$, поэтому наименьшая сумма получается, когда двухрублёвых монет взято как можно больше: $k=\min (N;500)$. Пятирублёвых монет на это хватает, так как $500-N⩽1200-N$.

Случай $N⩾500$. Берём $500$ двухрублёвых монет, наименьшая сумма равна $1000$. Условие:

$$1000⩾\frac{6000-3N}{4}\iff 4000⩾6000-3N\iff N⩾\frac{2000}{3}=666\frac{2}{3}.$$

Так как $N$ целое, получаем $N⩾667$.

Случай $N<500$. Берём все $N$ двухрублёвых и $500-N$ пятирублёвых монет, наименьшая сумма равна $2500-3N$. Условие:

$$2500-3N⩾\frac{6000-3N}{4}\iff 10000-12N⩾6000-3N\iff 9N⩽4000\iff N⩽444\frac{4}{9}.$$

Так как $N$ целое, получаем $N⩽444$.

Итак, условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда $1⩽N⩽444$ или $667⩽N⩽1199$.

а) Да, может. Проверим $N=400$ напрямую. Общая сумма $6000-3\cdot 400=4800$ рублей, её четверть — $1200$ рублей. Среди любых $500$ монет двухрублёвых не больше $400$, значит, пятирублёвых не меньше $100$, и сумма не меньше

$$400\cdot 2+100\cdot 5=1300>1200.$$

Условие выполнено.

б) Нет, не может. При $N=600$ общая сумма $6000-1800=4200$ рублей, её четверть — $1050$ рублей. Возьмём $500$ двухрублёвых монет (их $600$, так что это можно): сумма $1000<1050$. Условие нарушено.

в) По доказанному подходят значения $N$ от $1$ до $444$ — их $444$, и от $667$ до $1199$ — их $1199-667+1=533$. Всего

$$444+533=977.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $977$.