ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Контейнеры с сахарным песком составляют $60\%=\frac{3}{5}$ всех контейнеров. Значит, общее число контейнеров делится на $5$: пусть всего $5m$ контейнеров, из них $3m$ с песком и $2m$ без песка ($m$ — натуральное число).

Обозначим через $S$ массу контейнеров с песком, через $T$ — массу остальных. Каждый контейнер весит $20$ или $40$ тонн, поэтому

$$60m⩽S⩽120m,40m⩽T⩽80m.$$

Доля массы контейнеров с песком равна

$$p=\frac{S}{S+T}=\frac{1}{1+\frac{T}{S}}.$$

Из этой записи видно: доля тем больше, чем меньше отношение $\frac{T}{S}$, то есть она растёт при увеличении $S$ и при уменьшении $T$.

а) Да, может. Пример: в порту $5$ контейнеров — четыре по $20$ т и один $40$ т, причём песок лежит в трёх контейнерах по $20$ т.

Контейнеров с песком $3$ из $5$, то есть $60\%$ — условие выполнено. Масса контейнеров с песком $3\cdot 20=60$ т, общая масса $4\cdot 20+40=120$ т. Доля равна

$$\frac{60}{120}=0,5=50\%.$$

б) Нет, не может. Оценим долю снизу. Так как $S⩾60m$ и $T⩽80m$, то

$$\frac{T}{S}⩽\frac{80m}{60m}=\frac{4}{3},p=\frac{1}{1+\frac{T}{S}}⩾\frac{1}{1+\frac{4}{3}}=\frac{3}{7}.$$

Сравним: $\frac{3}{7}>\frac{2}{5}$, так как $3\cdot 5=15>14=2\cdot 7$. Значит, доля массы контейнеров с песком всегда больше $40\%$, и ровно $40\%$ она составить не может.

в) Ответ — $75\%$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. Так как $S⩽120m$ и $T⩾40m$, то

$$\frac{T}{S}⩾\frac{40m}{120m}=\frac{1}{3},p=\frac{1}{1+\frac{T}{S}}⩽\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}=75\%.$$

Значит, доля не больше $75\%$.

Пример. Оценка достигается, когда все контейнеры с песком весят по $40$ т, а все остальные — по $20$ т. Возьмём $3$ контейнера с песком по $40$ т и $2$ контейнера без песка по $20$ т. Контейнеров с песком $3$ из $5$, то есть $60\%$. Доля массы:

$$\frac{3\cdot 40}{3\cdot 40+2\cdot 20}=\frac{120}{160}=0,75=75\%.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $75\%$.