ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

После расстановки плюсов ряд из $53$ единиц разбивается на блоки подряд идущих единиц. Каждый блок — это слагаемое вида $1$, $11$, $111$, $1111$ и т. д. Общее количество единиц во всех блоках равно $53$.

Пригодится простое наблюдение: число, записанное $k$ единицами, не меньше $k$. Поэтому любые блоки, на которые в сумме ушло $m$ единиц, дают сумму не меньше $m$.

а) Да, можно. Сначала выясним, какие слагаемые могут быть в такой сумме.

Блоков из четырёх и более единиц нет: каждый из них не меньше $1111>116$.

Слагаемого $111$ тоже нет. Если бы оно было, то на остальные блоки ушло бы $53-3=50$ единиц, и они дали бы сумму не меньше $50$. Тогда вся сумма была бы не меньше $111+50=161>116$.

Значит, все слагаемые равны $11$ или $1$. Пусть слагаемых $11$ ровно $x$. На них уходит $2x$ единиц, а остальные $53-2x$ единиц стоят поодиночке. Составим уравнение:

$$11x+(53-2x)=116\iff 9x=63\iff x=7.$$

Получаем пример: $7$ слагаемых $11$ и $53-14=39$ слагаемых $1$:

$$\underset{7}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{39}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=77+39=116.$$

Проверим количество единиц: $7\cdot 2+39=53$. Всё сходится.

б) Нет, нельзя. Повторим рассуждение пункта а).

Блоков из четырёх и более единиц нет, так как $1111>117$. Слагаемого $111$ нет, так как иначе сумма была бы не меньше $111+50=161>117$.

Значит, слагаемые — только $11$ и $1$. Если слагаемых $11$ ровно $x$, то

$$11x+(53-2x)=117\iff 9x=64.$$

Число $64$ не делится на $9$, поэтому целого $x$ нет, и сумму $117$ получить нельзя.

Это же можно увидеть по остаткам при делении на $9$. Число даёт тот же остаток при делении на $9$, что и сумма его цифр. Поэтому вся сумма даёт тот же остаток, что и сумма всех цифр, то есть $53=5\cdot 9+8$ — остаток $8$. А число $117=9\cdot 13$ делится на $9$. Противоречие.

в) Ответ — $9665$. Докажем это в две части: оценка и пример.

Блоков из пяти и более единиц нет: каждый из них не меньше $11111$, и сумма стала бы пятизначной. Значит, слагаемые — это $1$, $11$, $111$ и $1111$.

Посчитаем, сколько каждое слагаемое даёт в расчёте на одну потраченную единицу:

$$\frac{111}{3}=37,\frac{11}{2}=5,5,\frac{1}{1}=1.$$

Отсюда: если на слагаемые, не превосходящие $111$, ушло $m$ единиц, то их сумма не больше $37m$, причём равенство бывает, только если все эти слагаемые равны $111$.

Оценка. Пусть в сумме $c$ слагаемых $1111$. Они дают $1111c$ и забирают $4c$ единиц, а остальные $53-4c$ единиц уходят на слагаемые, не превосходящие $111$.

Если $c⩾9$, то девять слагаемых $1111$ уже дают $9999$ и забирают $36$ единиц, а остальные $17$ единиц добавляют ещё не меньше $17$. Сумма не меньше $10016$ — она пятизначная. Значит, $c⩽8$.

Если $c=8$, то слагаемые $1111$ дают $8888$, а оставшиеся $53-32=21$ единица дают не больше $37\cdot 21=777$. Сумма не больше

$$8888+777=9665.$$

Если $c⩽7$, то сумма не больше

$$1111c+37(53-4c)=963c+1961⩽963\cdot 7+1961=8702<9665.$$

Значит, любая четырёхзначная сумма не больше $9665$.

Пример. Возьмём $8$ слагаемых $1111$ и $7$ слагаемых $111$:

$$\underset{8}{\underbrace{1111+\dots +1111}}+\underset{7}{\underbrace{111+\dots +111}}=8888+777=9665.$$

Единиц ушло $8\cdot 4+7\cdot 3=32+21=53$, сумма четырёхзначная. Значит, $9665$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9665$.