ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Сначала поймём, что происходит за один ход. Егор выбирает несколько имеющихся частей и от каждой из них отрезает кусок одной и той же целой длины. Каждая выбранная часть распадается ровно на две, а невыбранные части остаются как были. Значит, за один ход число частей увеличивается не больше чем вдвое.

В начале у Егора одна часть — сама линейка. Поэтому после первого хода частей не больше $2$, после второго — не больше $4$, и вообще после $k$ ходов частей не больше $2^k$. Это наблюдение и даст оценки в пунктах б) и в).

а) Да, может. Приведём пример: каждым ходом будем делить все имеющиеся части пополам.

$$\begin{array}{ccc}\text{Ход}& \text{Что отрезаем}& \text{Части после хода}\\ 1& 8\text{ от линейки }16& 2\text{ части по }8\\ 2& 4\text{ от каждой части}& 4\text{ части по }4\\ 3& 2\text{ от каждой части}& 8\text{ частей по }2\\ 4& 1\text{ от каждой части}& 16\text{ частей по }1\end{array}$$

На каждом ходе от всех частей отрезаются куски одинаковой целой длины, как и требует условие. После четвёртого хода линейка разделена на $16$ частей по $1$ см.

б) Нет, не может. Если линейка длиной $100$ см разделена на части по $1$ см, то частей ровно $100$. Но по нашему наблюдению после $5$ ходов частей не больше

$$2^5=32<100.$$

Значит, за $5$ ходов разделить линейку длиной $100$ см на части по $1$ см нельзя.

в) Ответ — $9$ ходов. Докажем это в две части: оценка и пример.

Оценка. В конце должно получиться $300$ частей по $1$ см. После $8$ ходов частей не больше $2^8=256<300$, поэтому $8$ ходов (а тем более меньше) не хватит. Значит, ходов не меньше $9$.

Пример. Покажем, как уложиться в $9$ ходов. Идея такая: число $256=2^8$ можно делить пополам восемь раз подряд, поэтому первым ходом отделим от линейки кусок $300-256=44$ см, а дальше будем делить пополам куски длины степени двойки, по возможности заодно обрабатывая и остаток.

$$\begin{array}{cccc}\text{Ход}& \text{Что отрезаем}& \text{Части после хода}& \text{Число частей}\\ 1& 44\text{ от }300& 256;44& 2\\ 2& 128\text{ от }256& 2\text{ по }128;44& 3\\ 3& 64\text{ от каждой }128& 4\text{ по }64;44& 5\\ 4& 32\text{ от всех частей}& 9\text{ по }32;12& 10\\ 5& 16\text{ от каждой }32& 18\text{ по }16;12& 19\\ 6& 8\text{ от всех частей}& 37\text{ по }8;4& 38\\ 7& 4\text{ от каждой }8& 75\text{ по }4& 75\\ 8& 2\text{ от всех частей}& 150\text{ по }2& 150\\ 9& 1\text{ от всех частей}& 300\text{ по }1& 300\end{array}$$

Поясним ходы, где участвует остаток. На $4$-м ходе каждая часть $64$ см даёт две части по $32$ см (всего $8$), а от части $44$ см отрезаем $32$ см и получаем $32$ и $12$ см — итого $9$ частей по $32$ см и одна часть $12$ см. На $6$-м ходе каждая часть $16$ см даёт две части по $8$ см (всего $36$), а часть $12$ см даёт $8$ и $4$ см — итого $37$ частей по $8$ см и одна часть $4$ см. На $7$-м ходе части $8$ см дают $74$ части по $4$ см, вместе с уже имевшейся частью $4$ см это $75$ частей по $4$ см.

В каждой строке суммарная длина равна $300$ см, например $9\cdot 32+12=300$ и $37\cdot 8+4=300$. После $9$-го хода получено $300$ частей по $1$ см.

Итак, $9$ ходов достаточно, а меньше нельзя.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.