ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в школе № 1 тест писали $n⩾2$ учащихся. Сумма их баллов $18n$. Пусть перешёл учащийся с $x$ баллами ($x$ — натуральное). В школе № 1 осталось $n-1$ учащихся, и средний балл стал $1,1\cdot 18=19,8$:

$$18n-x=19,8(n-1),x=19,8-1,8n=\frac{9(11-n)}{5}.$$

Пусть в школе № 2 было $m⩾2$ учащихся со средним баллом $A$. Баллы натуральные, а средний балл по условию целый, поэтому $A$ — натуральное число. После перехода средний балл стал $1,1A$:

$$Am+x=1,1A(m+1)\iff x=0,1Am+1,1A\iff A(m+11)=10x.$$

а) Число $x=\frac{9(11-n)}{5}$ натуральное. Значит, $11-n>0$ и $9(11-n)$ делится на $5$. Числа $9$ и $5$ взаимно просты, поэтому $11-n$ делится на $5$. При $2⩽n⩽10$ имеем $1⩽11-n⩽9$, и единственное кратное $5$ здесь — это $11-n=5$. Получаем $n=6$ и $x=9$.

Покажем, что такое возможно. В школе № 1 баллы $9,19,20,20,20,20$: сумма $108$, средний балл $18$. После ухода учащегося с $9$ баллами сумма $99$, средний балл $\frac{99}{5}=19,8=1,1\cdot 18$. В школе № 2 четыре учащихся по $6$ баллов: средний балл $6$. После перехода средний балл $\frac{24+9}{5}=6,6=1,1\cdot 6$.

Значит, в школе № 1 тест изначально писали $6$ учащихся.

б) По пункту а) в школе № 1 шесть учащихся с суммой баллов $108$, и перешедший набрал $9$ баллов. Остальные пять набрали в сумме $99$ баллов.

Оценка. Наибольший результат больше $9$ (иначе сумма шести различных результатов была бы меньше $108$), поэтому это не перешедший учащийся. Помимо наибольшего и девятки, есть ещё четыре различных натуральных результата, их сумма не меньше $1+2+3+4=10$. Значит, наибольший результат не больше $99-10=89$.

Пример. В школе № 1 баллы $1,2,3,4,9,89$: все различны, сумма $108$, средний балл $18$. Учащийся с $9$ баллами переходит, остаётся сумма $99$ и средний балл $\frac{99}{5}=19,8$. Школа № 2 — как в пункте а): четыре учащихся по $6$ баллов.

Значит, наибольший результат равен $89$ баллам.

в) Так как $x=9$, получаем $A(m+11)=90$. Значит, $m+11$ — делитель числа $90$.

Оценка. По условию $m>10$, то есть $m+11⩾22$. Делители $90$, не меньшие $22$: $30$, $45$, $90$. Отсюда $m\in \{19;34;79\}$, и $m⩾19$.

Пример. $m=19$, $A=\frac{90}{30}=3$: в школе № 2 девятнадцать учащихся по $3$ балла, средний балл $3$. После перехода средний балл $\frac{57+9}{20}=\frac{66}{20}=3,3=1,1\cdot 3$. Школа № 1 — как в пункте а).

Ответ: а) $6$; б) $89$; в) $19$.