В наборе 100 гирек весом 1, 2, …, 100 граммов. Их разложили на две… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2020 развёрнутое

В наборе 100 гирек весом 1, 2, …, 100 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 1 г, 5 г, 9 г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 7,5 грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть в первой кучке было $n$ гирек общим весом $S$ г, и в неё переложили гирьку весом $x$ г. Средний вес вырос на $1$ г:

$\frac{S + x}{n + 1} = \frac{S}{n} + 1.$

Умножим обе части на $n (n + 1)$ :

$n S + n x = (n + 1) S + n (n + 1), n x = S + n (n + 1), x = \frac{S}{n} + n + 1.$

а) Для кучки $1, 5, 9$ имеем $n = 3$ , $\frac{S}{n} = \frac{15}{3} = 5$ . Тогда $x = 5 + 3 + 1 = 9$ . Но гирька весом $9$ г одна, и она уже лежит в первой кучке, переложить её из второй нельзя.

Значит, не могла.

б) Если $\frac{S}{n} = 7, 5$ , то $x = 7, 5 + n + 1 = n + 8, 5$ . Это число не целое, а вес любой гирьки — целое число граммов.

Значит, не мог.

в) Оценка. В первой кучке $n$ различных гирек, поэтому их общий вес не меньше веса $n$ самых лёгких гирек:

$S ⩾ 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}, \frac{S}{n} ⩾ \frac{n + 1}{2} .$

Самая тяжёлая гирька весит $100$ г, поэтому

$100 ⩾ x = \frac{S}{n} + n + 1 ⩾ \frac{n + 1}{2} + (n + 1) = \frac{3 ( n + 1 )}{2} .$

Отсюда $n + 1 ⩽ \frac{200}{3} = 66 \frac{2}{3}$ , то есть $n ⩽ 65$ .

Пример. Пусть первая кучка — гирьки $1, 2, \dots, 65$ , вторая — гирьки $66, 67, \dots, 100$ . Тогда $S = \frac{65 \cdot 66}{2} = 2145$ , средний вес $33$ г. Переложим из второй кучки гирьку $x = 33 + 65 + 1 = 99$ г. В первой кучке станет $66$ гирек общим весом $2145 + 99 = 2244$ г, средний вес $\frac{2244}{66} = 34$ г — ровно на $1$ г больше.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $65$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20