ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в большом кляссере $a$ ячеек, в маленьком $b$ ячеек, монет $N$. По условию $160<a<170$ и $100<b<120$.

Если монеты разложить в $k$ больших кляссеров, все ячейки заняты, кроме $7$ в одном кляссере. Значит, $N=ka-7$. Аналогично $N=(k+3)b-7$. Приравняв, получаем основное равенство

$$ka=(k+3)b.(\ast )$$

а) Пусть $k=4$. Тогда $4a=7b$. Числа $4$ и $7$ взаимно просты, поэтому $a$ делится на $7$. На интервале $(160;170)$ таких чисел два: $161$ и $168$. При $a=161$ получаем $b=\frac{4\cdot 161}{7}=92$, при $a=168$ — $b=\frac{4\cdot 168}{7}=96$. В обоих случаях $b<100$, что противоречит условию.

Значит, не может.

б) Сначала найдём, какими вообще могут быть $k$. Из $(\ast )$ и оценок для $a$ и $b$:

$$100(k+3)<(k+3)b=ka<170k\Rightarrow 300<70k\Rightarrow k>\frac{30}{7},$$

$$160k<ka=(k+3)b<120(k+3)\Rightarrow 40k<360\Rightarrow k<9.$$

Значит, $k\in \{5;6;7;8\}$.

Оценка. Если $k⩾6$, то $N=ka-7⩾6\cdot 161-7=959$. Если $k=5$, то из $(\ast )$ $5a=8b$. Числа $5$ и $8$ взаимно просты, поэтому $a$ делится на $8$, а единственное такое число на $(160;170)$ — это $168$. Тогда $b=\frac{5\cdot 168}{8}=105$ (подходит) и $N=5\cdot 168-7=833$. Так как $833<959$, монет не меньше $833$.

Пример. $a=168$, $b=105$, $k=5$. В $5$ больших кляссерах $840$ ячеек, в $8$ маленьких — тоже $840$. Монет $833=5\cdot 168-7=8\cdot 105-7$, в обоих случаях в одном кляссере остаются пустыми $7$ ячеек.

Значит, наименьшее количество монет равно $833$.

в) Переберём возможные $k$ из пункта б).

$k=8$: $8a=11b$, значит, $a$ делится на $11$, то есть $a=165$. Тогда $b=\frac{8\cdot 165}{11}=120$, а нужно $b<120$. Не подходит.

$k=7$: $7a=10b$, значит, $a$ делится на $10$. На интервале $(160;170)$ таких чисел нет. Не подходит.

$k=6$: $6a=9b$, то есть $2a=3b$, значит, $a$ делится на $3$: $a\in \{162;165;168\}$, и тогда $b=\frac{2a}{3}\in \{108;110;112\}$ — все подходят. Наибольшее число монет при $k=6$ получается при наибольшем $a=168$: $N=6\cdot 168-7=1001$.

$k=5$: как найдено в пункте б), $N=833$.

Оценка. Во всех возможных случаях $N⩽1001$.

Пример. $a=168$, $k=6$, $b=112$. В $6$ больших кляссерах $1008$ ячеек, в $9$ маленьких — тоже $9\cdot 112=1008$. Монет $1001=6\cdot 168-7=9\cdot 112-7$.

Ответ: а) нет; б) $833$; в) $1001$.