ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Сумма всех чисел равна $30\cdot 23=690$. Все числа натуральные, от $17$ до $56$. После деления пополам число $k$ становится меньше $9$ тогда и только тогда, когда $k<18$, то есть $k=17$. Значит, стираются ровно все числа $17$, а числа от $18$ и больше остаются.

Пусть чисел $17$ было $x$. На доске остаётся хотя бы одно число, поэтому $x⩽29$. Остальные $30-x$ чисел в сумме дают $690-17x$, после деления пополам их сумма $\frac{690-17x}{2}$. Среднее оставшихся чисел

$$S=\frac{690-17x}{2(30-x)}=\frac{17(30-x)+180}{2(30-x)}=\frac{17}{2}+\frac{90}{30-x}.$$

а) Приведём пример: $25$ чисел $17$ и $5$ чисел $53$. Все числа больше $16$ и не больше $56$, сумма $25\cdot 17+5\cdot 53=425+265=690$, среднее $23$. После деления пополам получаем $25$ чисел $8,5$ (их стирают) и $5$ чисел $26,5$. Среднее оставшихся $26,5>21$.

Значит, может.

б) Речь о среднем арифметическом оставшихся чисел. Условие $20<S<21$ равносильно

$$\frac{23}{2}<\frac{90}{30-x}<\frac{25}{2}.$$

Число $30-x$ положительно, поэтому переходим к обратным величинам:

$$\frac{180}{25}<30-x<\frac{180}{23},7,2<30-x<7,82\dots$$

Между $7,2$ и $7,82\dots$ нет целых чисел, а $30-x$ — целое. Значит, не может.

в) Оценка. Чем больше $x$, тем меньше $30-x$ и тем больше $S$. Найдём наибольшее возможное $x$. Каждое из оставшихся $30-x$ чисел не больше $56$, поэтому

$$690-17x⩽56(30-x),39x⩽990,x⩽25\frac{5}{13}.$$

Так как $x$ целое, $x⩽25$, и

$$S⩽\frac{17}{2}+\frac{90}{30-25}=8,5+18=26,5.$$

Пример. Набор из пункта а) — $25$ чисел $17$ и $5$ чисел $53$ — даёт $S=26,5$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $26,5$.