На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом сложная 2026 развёрнутое

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

a) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «—35»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «—42», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Чётные грани $2, 4, 6$ сдвигают фишку вправо, нечётные $1, 3, 5$ — влево. Итоговая координата равна сумме выпавших чётных чисел минус сумма выпавших нечётных.

а) Приведём пример. Пусть единица выпала $15$ раз, тройка — $15$ раз, четвёрка — $15$ раз. Всего $45$ бросков, а координата фишки

$15 \cdot (- 1) + 15 \cdot (- 3) + 15 \cdot 4 = - 15 - 45 + 60 = 0.$

Значит, может.

б) Пусть чётное число выпало $n$ раз и нечётное тоже $n$ раз. Всего бросков $2 n$ .

Оценка. Разобьём броски на $n$ пар «чётное — нечётное». За пару фишка сдвигается на $e - o$ , где $e$ — чётное число, $o$ — нечётное. Наименьшее чётное на кубике $2$ , наибольшее нечётное $5$ , поэтому $e - o ⩾ 2 - 5 = - 3$ . Значит, итоговая координата не меньше $- 3 n$ :

$- 35 ⩾ - 3 n, n ⩾ \frac{35}{3} = 11 \frac{2}{3}, n ⩾ 12.$

Теперь учтём чётность. Сумма $n$ чётных чисел чётна, а сумма $n$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $n$ . Поэтому координата фишки имеет ту же чётность, что и $n$ . Число $- 35$ нечётно, значит, $n$ нечётно, и $n ⩾ 13$ . Бросков не меньше $26$ .

Пример. Пусть пятёрка выпала $13$ раз, двойка — $12$ раз, шестёрка — $1$ раз. Нечётных выпадений $13$ , чётных $12 + 1 = 13$ — поровну. Всего $26$ бросков, координата

$13 \cdot (- 5) + 12 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = - 65 + 24 + 6 = - 35.$

Значит, наименьшее число бросков равно $26$ .

в) Обозначим через $n_{k}$ , сколько раз выпала грань $k$ . По условию $n_{1} + n_{3} + n_{5} = n_{2} + n_{4} + n_{6} = n$ , всего бросков $2 n$ . Координата фишки

$P = 2 n_{2} + 4 n_{4} + 6 n_{6} - n_{1} - 3 n_{3} - 5 n_{5} .$

Выразим $n_{5} = n - n_{1} - n_{3}$ и $n_{2} = n - n_{4} - n_{6}$ и подставим:

$P = 2 (n - n_{4} - n_{6}) + 4 n_{4} + 6 n_{6} - n_{1} - 3 n_{3} - 5 (n - n_{1} - n_{3}) = - 3 n + 4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6} .$

Оценка. Каждая грань выпала хотя бы раз, и все шесть чисел $n_{k}$ различны. Поэтому $n_{1}$ , $n_{3}$ , $n_{4}$ , $n_{6}$ — четыре различных натуральных числа:

$n_{1} + n_{3} + n_{4} + n_{6} ⩾ 1 + 2 + 3 + 4 = 10, n_{1} + n_{6} ⩾ 1 + 2 = 3.$

Отсюда

$4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6} = 2 (n_{1} + n_{3} + n_{4} + n_{6}) + 2 (n_{1} + n_{6}) ⩾ 2 \cdot 10 + 2 \cdot 3 = 26.$

Подставим $P = - 42$ :

$3 n = 42 + 4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6} ⩾ 42 + 26 = 68, n ⩾ \frac{68}{3} = 22 \frac{2}{3}, n ⩾ 23.$

Учтём чётность: в выражении $P = - 3 n + (4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6})$ скобка чётна, поэтому $P$ имеет ту же чётность, что и $n$ . Число $- 42$ чётно, значит, $n$ чётно, и $n ⩾ 24$ . Бросков не меньше $48$ .

Пример. Пусть $n_{1} = 1$ , $n_{3} = 3$ , $n_{5} = 20$ , $n_{2} = 18$ , $n_{4} = 2$ , $n_{6} = 4$ . Все грани выпали, количества $1, 2, 3, 4, 18, 20$ попарно различны. Нечётных выпадений $1 + 3 + 20 = 24$ , чётных $18 + 2 + 4 = 24$ — поровну. Всего $48$ бросков, координата

$1 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 3) + 20 \cdot (- 5) + 18 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 6 = - 1 - 9 - 100 + 36 + 8 + 24 = - 42.$

Ответ: а) да; б) $26$ ; в) $48$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20