ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — длина вектора

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Для $\vec{b}(2;-1)$ и $\vec{c}(c_0;3)$ найдём

$$\vec{b}+\vec{c}=(2+c_0;-1+3)=(2+c_0;2).$$

Скалярное произведение векторов, заданных координатами $\vec{d}(x_1;y_1)$ и $\vec{e}(x_2;y_2)$, равно сумме произведений соответствующих координат: $\vec{d}\cdot \vec{e}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. По условию $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=0$ для $\vec{a}(2;-3)$, значит

$$2\cdot (2+c_0)+(-3)\cdot 2=0.$$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $c_0$:

$$4+2c_0-6=0\Rightarrow 2c_0-2=0\Rightarrow 2c_0=2\Rightarrow c_0=1.$$

Ответ: $1$.