ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Косинус угла между ненулевыми векторами находим через их скалярное произведение и длины:

$$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$$

Скалярное произведение векторов с координатами $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ равно $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Для $\vec{a}(2;1)$ и $\vec{b}(-1;-2)$ получаем

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-1)+1\cdot (-2)=-2-2=-4.$$

По теореме Пифагора находим длины векторов:

$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},|\vec{b}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}.$$

Подставим в формулу косинуса:

$$\cos \alpha =\frac{-4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-4}{5}=-0,8.$$

Ответ: $-0,8$.