ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Разбор — 1 балл

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами можно найти через их скалярное произведение и длины:

$$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$$

Эта формула получается из определения скалярного произведения $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$, равно сумме произведений их соответствующих координат: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Для $\vec{a}(2;6)$ и $\vec{b}(-6;-2)$ получаем

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-6)+6\cdot (-2)=-12-12=-24.$$

Длину вектора находим по теореме Пифагора: $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$. Тогда

$$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40},|\vec{b}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{40}.$$

Подставим найденные значения в формулу косинуса:

$$\cos \alpha =\frac{-24}{\sqrt{40}\cdot \sqrt{40}}=\frac{-24}{40}=-0,6.$$

Ответ: $-0,6$.