ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ равно $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$, а также равно $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами. Отсюда

$$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$$

Для векторов $\vec{a}(-6;-8)$ и $\vec{b}(12;9)$ найдём скалярное произведение:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=(-6)\cdot 12+(-8)\cdot 9=-72-72=-144.$$

Найдём длины векторов:

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10,|\vec{b}|=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.$$

Тогда

$$\cos \alpha =\frac{-144}{10\cdot 15}=-\frac{144}{150}=-0,96.$$

Ответ: $-0,96$.