ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle (\vec{a},\vec{b}).$$

Подставим известные значения $|\vec{a}|=10\sqrt{2}$, $\angle (\vec{a},\vec{b})=45^{\circ }$ и $\vec{a}\cdot \vec{b}=40$, учитывая, что $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$40=10\sqrt{2}\cdot |\vec{b}|\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Так как $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$, правая часть упрощается:

$$40=10\cdot |\vec{b}|.$$

Отсюда $|\vec{b}|=4$.

Ответ: $4$.