ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

При умножении, сложении и вычитании векторов умножаются, складываются и вычитаются их соответствующие координаты. Для $\vec{a}(2;1)$ и $\vec{b}(1;-3)$ получаем

$$2\vec{a}+\vec{b}=\left(2\cdot 2+1;2\cdot 1+(-3)\right)=(5;-1),$$

$$5\vec{a}-\vec{b}=\left(5\cdot 2-1;5\cdot 1-(-3)\right)=(9;8).$$

Скалярное произведение векторов $\vec{d}(x_1;y_1)$ и $\vec{e}(x_2;y_2)$ равно $\vec{d}\cdot \vec{e}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Подставим найденные координаты:

$$\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot \left(5\vec{a}-\vec{b}\right)=5\cdot 9+(-1)\cdot 8=45-8=37.$$

Ответ: $37$.