ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

При вычитании и умножении векторов складываются, вычитаются и умножаются их соответствующие координаты. Для $\vec{a}(5;2)$ и $\vec{b}(3;-6)$ получаем

$$\vec{a}-\vec{b}=\left(5-3;2-(-6)\right)=(2;8),$$

$$5\vec{a}-\vec{b}=\left(5\cdot 5-3;5\cdot 2-(-6)\right)=(22;16).$$

Скалярное произведение векторов $\vec{d}(x_1;y_1)$ и $\vec{e}(x_2;y_2)$ равно $\vec{d}\cdot \vec{e}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Подставим найденные координаты:

$$\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot \left(5\vec{a}-\vec{b}\right)=2\cdot 22+8\cdot 16=44+128=172.$$

Ответ: $172$.