ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ можно записать двумя способами:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2\text{и}\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha ,$$

где $\alpha$ — угол между векторами. Отсюда $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$, а длина вектора $\vec{c}(x;y)$ равна $|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Для $\vec{a}(-14;2)$ и $\vec{b}(3;-21)$ находим числитель и длины векторов:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=(-14)\cdot 3+2\cdot (-21)=-42-42=-84,$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{(-14{)}^2+2^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{3^2+(-21{)}^2}=\sqrt{450}=15\sqrt{2}.$$

Значит,

$$\cos \alpha =\frac{-84}{10\sqrt{2}\cdot 15\sqrt{2}}=\frac{-84}{150\cdot 2}=\frac{-84}{300}=-0,28.$$

Ответ: $-0,28$.