ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ можно записать двумя способами:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2\text{и}\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha ,$$

где $\alpha$ — угол между векторами, а длина вектора $\vec{c}(x;y)$ равна $|\vec{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$. Отсюда

$$\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}.$$

Для $\vec{a}(4;-3)$ и $\vec{b}(7;24)$ находим числитель и длины векторов:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=4\cdot 7+(-3)\cdot 24=28-72=-44,$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25}=5,|\vec{b}|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25.$$

Значит,

$$\cos \alpha =\frac{-44}{5\cdot 25}=\frac{-44}{125}=-0,352.$$

Ответ: $-0,352$.