Длины векторов a и b равны 3√5 и 4√10, а угол между ними равен 45°… — 2 задание ЕГЭ профиль

№2 Скалярное произведение лёгкая 2023

Длины векторов $a$ и $b$ равны $35$ и $410$ , а угол между ними равен $4 5^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $a \cdot b$ .

Разбор — 1 балл

Скалярное произведение двух векторов можно найти через их длины и угол между ними:

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α .$

По условию $∣ a ∣ = 35$ , $∣ b ∣ = 410$ , $α = 4 5^{\circ}$ . Табличное значение $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ . Подставим все данные:

$a \cdot b = 35 \cdot 410 \cdot \frac{2}{2} .$

Корни одинаковой степени при умножении объединяются под одним знаком корня: $5 \cdot 10 \cdot 2 = 5 \cdot 10 \cdot 2 = 100 = 10$ . Поэтому

$a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot \frac{10}{2} = 12 \cdot 5 = 60.$

Ответ: $60$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №2 — скалярное произведение