ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Уравнение определено при всех $x$. Обозначим $u=x^2$, $v=6x-a$. Тогда уравнение имеет вид $(u+v{)}^2=2u^2+2v^2$. Раскроем квадрат и перенесём всё в одну часть:

$$u^2+2uv+v^2=2u^2+2v^2\iff u^2-2uv+v^2=0\iff (u-v{)}^2=0\iff u=v.$$

Все переходы равносильны. Возвращаясь к $x$, получаем

$$x^2=6x-a\iff x^2-6x+a=0\iff (x-3{)}^2=9-a.$$

Нужно найти $a$, при которых это уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;5]$.

Случай $a>9$. Правая часть отрицательна — корней нет.

Случай $a=9$. Единственный корень $x=3$ лежит на отрезке $[0;5]$. Значение $a=9$ подходит.

Случай $a<9$. Два различных корня:

$$x_1=3-\sqrt{9-a},x_2=3+\sqrt{9-a},x_1<3<x_2.$$

Так как $x_1<3$, условие $x_1⩽5$ выполнено всегда, и $x_1\in [0;5]$ равносильно $x_1⩾0$. Так как $x_2>3$, условие $x_2⩾0$ выполнено всегда, и $x_2\in [0;5]$ равносильно $x_2⩽5$.

Корни симметричны относительно $3$. Если $x_2⩽5$, то $\sqrt{9-a}⩽2$, и тогда $x_1=3-\sqrt{9-a}⩾1>0$. Значит, вместе с $x_2$ на отрезке оказывается и $x_1$ — корней два. Поэтому ровно один корень на отрезке бывает только так: $x_1\in [0;5]$, а $x_2>5$.

Обе части неравенств ниже неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$$\{\begin{array}{l}{x}_2>5,\\ x_1⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{9-a}>2,\\ \sqrt{9-a}⩽3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9-a>4,\\ 9-a⩽9\end{array}\iff 0⩽a<5.$$

Условие $a<9$ при этом выполнено. Проверим концы. При $a=0$ корни $0$ и $6$, на отрезке только $x=0$ — значение подходит. При $a=5$ корни $1$ и $5$, оба на отрезке — значение не подходит.

Объединим оба случая.

Ответ: $a\in [0;5)\cup \{9\}$.