ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x-\frac{4}{x}$. Получим уравнение

$$a{y}^2+2y-36a+18=0.(\ast )$$

Сколько решений $x$ даёт одно значение $y$. Умножим равенство $x-\frac{4}{x}=y$ на $x\ne 0$:

$$x^2-yx-4=0.$$

Число $x=0$ корнем не является ($0-0-4\ne 0$), так что условие $x\ne 0$ выполняется само. Дискриминант $D_x=y^2+16>0$ при любом $y$. Значит, каждое значение $y$ даёт ровно два различных решения $x$.

Каждому $x$ соответствует единственное значение $y=x-\frac{4}{x}$, поэтому разные корни $y$ дают разные решения $x$. Значит, число решений исходного уравнения вдвое больше числа корней уравнения $(\ast )$. Ровно два решения будет тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast )$ имеет ровно один корень.

Случай $a=0$. Уравнение $(\ast )$ линейное: $2y+18=0$, $y=-9$ — один корень. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(\ast )$ квадратное. Оно имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

$$\frac{D}{4}=1-a(18-36a)=36a^2-18a+1=0.$$

Решим это уравнение относительно $a$:

$$a=\frac{9\pm \sqrt{81-36}}{36}=\frac{9\pm 3\sqrt{5}}{36}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{12}.$$

Оба значения отличны от нуля, поэтому случаю $a\ne 0$ они не противоречат. При остальных $a\ne 0$ либо $D>0$ (два корня $y$, четыре решения), либо $D<0$ (решений нет).

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{3-\sqrt{5}}{12};\frac{3+\sqrt{5}}{12}\right\}$.