ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений по параметру: $p\ne 0$, иначе выражение $\frac{14\pi }{p}$ не определено.

Обозначим $u=x^2-4|x|-p$ и выделим в левой части полный квадрат:

$$u^2+6u+10=(u^2+6u+9)+1=(u+3{)}^2+1.$$

Квадрат неотрицателен, поэтому левая часть не меньше $1$ при любых $x$. Правая часть — косинус, она не больше $1$. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны $1$:

$$\{\begin{array}{l}(x^2-4|x|-p+3{)}^2+1=1,\\ \cos \frac{14\pi }{p}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{ll}{x}^2-4|x|-p+3=0,& (1)\\ \cos \frac{14\pi }{p}=1.& (2)\end{array}$$

Если условие (2) не выполнено, корней нет. Если выполнено, корни исходного уравнения — это корни уравнения (1). Значит, нужно, чтобы выполнялось (2) и уравнение (1) имело ровно два корня.

Уравнение (1). Запишем его как $p=x^2-4|x|+3$ и решим графически на плоскости $(x;p)$. Функция чётная. При $x⩾0$ это парабола $p=x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1$ с вершиной $(2;-1)$, при $x=0$ значение $p=3$. При $x<0$ график симметричен относительно оси ординат, вершина $(-2;-1)$. Число корней равно числу общих точек графика с горизонтальной прямой $p=\mathrm{const}$. Граничные положения — через вершины ($p=-1$) и через точку излома $(0;3)$ ($p=3$). На рисунке по вертикальной оси отложено $p$.

Подтвердим подсчёт аналитически. Пусть $s=|x|⩾0$, тогда (1) принимает вид $(s-2{)}^2=p+1$.

При $p<-1$ решений нет.

При $p=-1$ получаем $s=2$, то есть $x=\pm 2$ — два корня.

При $p>-1$ получаем $s=2\pm \sqrt{p+1}$. Значение $s_1=2+\sqrt{p+1}$ всегда положительно и даёт два корня $x=\pm s_1$. Значение $s_2=2-\sqrt{p+1}$ положительно при $p<3$ (ещё два корня), равно нулю при $p=3$ (один корень $x=0$), отрицательно при $p>3$ (корней не даёт).

Итак, при $-1<p<3$ корней четыре, при $p=3$ — три ($x=0$, $x=\pm 4$), при $p>3$ — два. Уравнение (1) имеет ровно два корня при $p\in \{-1\}\cup (3;+\infty )$.

Условие (2).

$$\cos \frac{14\pi }{p}=1\iff \frac{14\pi }{p}=2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

При $n=0$ решений нет, так как $\frac{14\pi }{p}\ne 0$. При $n\ne 0$ получаем $p=\frac{7}{n}$, $n\in \mathbb{Z}$, $n\ne 0$.

Пересечение условий.

Если $p=-1$, то $\frac{7}{n}=-1$, $n=-7$ — целое. Значение $p=-1$ подходит.

Если $p>3$, то $\frac{7}{n}>3$, $\frac{7-3n}{n}>0$, или

$$\frac{n-\frac{7}{3}}{n}<0.$$

Отсюда $0<n<\frac{7}{3}$, и целые $n$ здесь — только $n=1$ и $n=2$. При $n=1$ получаем $p=7$, при $n=2$ — $p=\frac{7}{2}=3,5$.

Ответ: $p\in \{-1;3,5;7\}$.