ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Уравнение определено при всех $x$ и $a$. Разложим каждый коэффициент на множители:

$$x^2-3x=x(x-3),-27x^3+81x^2=-27x^2(x-3),$$

$$x^4-3x^3-27x+81=x^3(x-3)-27(x-3)=(x-3)(x^3-27).$$

Вынесем общий множитель $x-3$ за скобки:

$$(x-3)(x{a}^2+(x^3-27)a-27x^2)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем слагаемые:

$$x{a}^2+x^{3}a-27a-27x^2=xa(a+x^2)-27(a+x^2)=(x^2+a)(ax-27).$$

Значит, уравнение равносильно

$$(x-3)(x^2+a)(ax-27)=0\iff [\begin{array}{l}x=3,\\ a=-x^2,\\ ax=27.\end{array}$$

При $x=0$ равенство $ax=27$ невозможно, поэтому $ax=27$ равносильно $a=\frac{27}{x}$.

Изобразим множество решений на плоскости $(x;a)$: вертикальная прямая $x=3$, парабола $a=-x^2$ с вершиной в начале координат и ветвями вниз, гипербола $a=\frac{27}{x}$ в первой и третьей четвертях.

Найдём попарные пересечения.

Прямая и парабола: $a=-3^2=-9$, точка $(3;-9)$.

Прямая и гипербола: $a=\frac{27}{3}=9$, точка $(3;9)$.

Парабола и гипербола: $-x^2=\frac{27}{x}$, то есть $x^3=-27$, $x=-3$, $a=-9$, точка $(-3;-9)$.

Число корней при фиксированном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенным множеством. Оно меняется в граничных положениях: через точки пересечения ($a=-9$ и $a=9$) и через вершину параболы ($a=0$, там же гипербола теряет точку). На рисунке по вертикальной оси отложено $a$, граничные прямые $a=\pm 9$ показаны пунктиром, прямая $a=0$ — ось абсцисс.

Обоснуем подсчёт аналитически. Пусть $a=c$. Прямая $x=3$ всегда даёт корень $x=3$. Парабола даёт $x^2=-c$: два корня $x=\pm \sqrt{-c}$ при $c<0$, один корень $x=0$ при $c=0$, ни одного при $c>0$. Гипербола даёт корень $x=\frac{27}{c}$ при $c\ne 0$ и ничего при $c=0$.

$c<0$, $c\ne -9$. Кандидаты $3$, $\sqrt{-c}$, $-\sqrt{-c}$, $\frac{27}{c}$. Равенство $\sqrt{-c}=3$ даёт $c=-9$. Числа $-\sqrt{-c}$ и $\frac{27}{c}$ отрицательны, поэтому не равны ни $3$, ни $\sqrt{-c}$. Равенство $\frac{27}{c}=-\sqrt{-c}$ после возведения в квадрат даёт $\frac{729}{c^2}=-c$, $c^3=-729$, $c=-9$. Значит, при $c\ne -9$ все четыре корня различны — четыре корня.

$c=-9$. Кандидаты $3$, $3$, $-3$, $\frac{27}{-9}=-3$ — различных корней два.

$c=0$. Корни $x=3$ и $x=0$ — два корня.

$0<c<9$ и $c>9$. Корни $x=3$ и $x=\frac{27}{c}\ne 3$ — два корня.

$c=9$. Корень гиперболы $\frac{27}{9}=3$ совпадает с $x=3$ — один корень.

Объединим подходящие значения.

Ответ: $a\in \{-9\}\cup [0;9)\cup (9;+\infty )$.